Chủ đề này có 1 trả lời

[Master Kaiser]

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho $\sqrt{1+p+p^{2}+p^{3}+p^{4}}$ là số hữu tỷ

[thaolhpk96]

Đặt $1+p+p^2+p^3+p^4=n^2$, n $\in$ N $\Leftrightarrow4+4p+4p^2+4p^3+4p^4=4n^2$

Ta có: $ 4p^4+4p^3+p^2<4+4p+4p^2+4p^3+4p^4<4p^4+4p^3+5p^2+4p+4 (1)$

           $\Leftrightarrow (2p^2+p)^2<(2n)^2<(2p^2+p+2)^2$

           $\Rightarrow 2n=2p^2+p+1\Rightarrow 4n^2=4p^4+4p^3+5p^2+2p+1 (2)$

Từ (1) & (2)$ \Rightarrow p^2-2p-3=0  \Rightarrow  p=3$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaolhpk96: 25-10-2015 - 22:07