Chủ đề này có 1 trả lời

[hoctrocuaZel]

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là điểm trên cung nhỏ BCcủa(O), đường thẳng MC cắt đường thẳng BE tại L, đường thẳng F C cắt đường thẳng BMtại K. Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm đoạn KL.

[viet nam in my heart]

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là điểm trên cung nhỏ BCcủa(O), đường thẳng MC cắt đường thẳng BE tại L, đường thẳng F C cắt đường thẳng BMtại K. Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm đoạn KL.

 

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là điểm trên cung nhỏ BCcủa(O), đường thẳng MC cắt đường thẳng BE tại L, đường thẳng F C cắt đường thẳng BMtại K. Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm đoạn KL.

Bài này khá đơn giản

Kẻ $MI \perp AB, MJ \perp AC$. Gọi $R$ là giao điểm của $EF$ và $LK$

Áp dụng định lý $Menelaus$ cho tam giác $KLH$ với $E,F,G$ thẳng hàng ta có:

$$\dfrac{GK}{GL}.\dfrac{EL}{EH}.\dfrac{FH}{FK}=1$$

Do đó để chứng minh $GK=GL$ ta sẽ đi chứng minh $\dfrac{EL}{EH}=\dfrac{FK}{FH}$

Áp dụng định lý $Thales$ ta có: $\dfrac{EL}{MJ}=\dfrac{CE}{CJ} \Leftrightarrow \dfrac{EL}{EH}=\dfrac{EC}{EH}.\dfrac{JM}{JC}$

Chứng minh tương tự: $\dfrac{FK}{FH}=\dfrac{FB}{FH}.\dfrac{IM}{IB}$

Do đó ta cần chứng minh $\dfrac{EC}{EH}.\dfrac{JM}{JC}=\dfrac{FB}{FH}.\dfrac{IM}{IB}(1)$

Từ $\triangle FHB \backsim \triangle EHC(g.g)$ suy ra $\dfrac{FB}{FH}=\dfrac{EC}{EH}(2)$

Từ $\triangle IBM \backsim \triangle JCM(g.g)$ suy ra $\dfrac{IM}{IB}=\dfrac{JM}{JC}(3)$

Từ $(2)$ và $(3)$ suy ra $(1)$ đúng

Vậy $EF$ đi qua trung điểm đoạn $KL$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 02-11-2015 - 20:28