Chủ đề này có 3 trả lời

[Phanbalong]

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $ab+bc+ca=3$ .Chứng minh : 
 $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}$$\leq \frac{1}{abc}$

[longatk08]

BĐT tương tự với $a+b+c=3$, $a,b,c$ không âm:

 

$$\frac{a}{1+(b+c)^2}+\frac{b}{1+(a+c)^2}+\frac{c}{1+(a+b)^2}\leq \frac{60}{1+99abc}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 04-11-2015 - 23:40

[longatk08]

BĐT sau mạnh hơn:

 

$$\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(a+c)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)}\leq \frac{3}{1+2abc}$$

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $ab+bc+ca=3$ .Chứng minh : 
 $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}$$\leq \frac{1}{abc}$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có:

$ab+bc+ca \geq 3 \sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}-->abc \leq 1$

Suy ra

$\sum \frac{1}{1+a^{2}(b+c)} \leq \sum \frac{1}{a(ab+bc+ca)} = \frac{1}{ab+bc+ca}.\sum \frac{1}{a} = \frac{1}{abc}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$