Chủ đề này có 2 trả lời

[robot3d]

cho a,b,c thuộc R. CMR:

$\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}\geq \sqrt{c^2+ac+a^2}$

[Quoc Tuan Qbdh]

cho a,b,c thuộc R. CMR:

$\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}\geq \sqrt{c^2+ac+a^2}$

Ta có :
$\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+bc+c^{2}}=\sqrt{(-\frac{a}{2}-b)^{2}+(\frac{\sqrt{3}a}{2})^{2}}+\sqrt{(\frac{c}{2}+b)^{2}+(\frac{\sqrt{3}c}{2})^{2}}$

Áp dụng BĐT $Minkowski$ ta có :
$\sqrt{(-\frac{a}{2}-b)^{2}+(\frac{\sqrt{3}a}{2})^{2}}+\sqrt{(\frac{c}{2}+b)^{2}+(\frac{\sqrt{3}c}{2})^{2}} \geq \sqrt{\frac{1}{4}(-a+c)^{2}+\frac{3}{4}(a+c)^{2}}$

$=\sqrt{a^{2}+ac+c^{2}}-->$đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $c(-2a-b)=(2c+b)a$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 10-11-2015 - 20:37

[robot3d]

Ta có :
$\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+bc+c^{2}}=\sqrt{(-\frac{a}{2}-b)^{2}+(\frac{\sqrt{3}a}{2})^{2}}+\sqrt{(\frac{c}{2}+b)^{2}+(\frac{\sqrt{3}c}{2})^{2}}$

Áp dụng BĐT $Minkowski$ ta có :
$\sqrt{(-\frac{a}{2}-b)^{2}+(\frac{\sqrt{3}b}{2})^{2}}+\sqrt{(\frac{c}{2}+b)^{2}+(\frac{\sqrt{3}b}{2})^{2}} \geq \sqrt{\frac{1}{4}(-a+c)^{2}+\frac{3}{4}(a+c)^{2}}$

$=\sqrt{a^{2}+ac+c^{2}}-->$đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $c(-2a-b)=(2c+b)a$

a dánh nhầm nhé  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robot3d: 10-11-2015 - 20:13