Chủ đề này có 3 trả lời

[buibichlien]

Chứng minh rằng nếu với mọi $a, b, c$ khác $0$ và $m>0$ thỏa mãn : $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1}+\frac{c}{m}=0$ thì phương trình $ax^2+bx+c=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$

[Quoc Tuan Qbdh]

Chứng minh rằng nếu với mọi $a, b, c$ khác $0$ và $m>0$ thỏa mãn : $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1}+\frac{c}{m}=0$ thì phương trình $ax^2+bx+c=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$

Đặt $f(x)=\frac{a.x^{m+2}}{m+2}+\frac{b.x^{m+1}}{m+1}+\frac{c.x^{m}}{m}$ $f(x)$ liên tục trên $[0;1]$

$f'(x)=a.x^{m+1}+b.x^{m}+c.x^{m-1}$ ( $f'(x)$ thuộc $(0;1)$$-->x$ khác $0$ )

Giả sử $\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=f'(x)<=>\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1}+\frac{c}{m}=f'(x)<=>x^{m-1}(ax^{2}+bx+c)=0<=>(ax^{2}+bx+c)=0$

Theo định lý $Lagrange$ thì tồn tại $x_0$ thuộc $(0;1)$ sao cho $ax^{2}+bx+c=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 13-04-2016 - 00:05

[Hoang Long Le]

Chứng minh rằng nếu với mọi $a, b, c$ khác $0$ và $m>0$ thỏa mãn : $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1}+\frac{c}{m}=0$ thì phương trình $ax^2+bx+c=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$

 Đặt $f(x)=ax^2+bx+c$

 Khi đó :

        $f(0)=c$

        $f(1)=a+b+c$

        $f\left ( \dfrac{m}{m+1}\right )=\dfrac{m^2a}{(m+1)^2}+\dfrac{mb}{m+1}+c$

        $\Rightarrow mf(1)+(m+1)^2.f\left ( \dfrac{m}{m+1}\right )=m(m+1)a+m(m+2)b+(m+1)(m+2)c-c=-c$

        $\Rightarrow f(0).\left [mf(1)+(m+1)^2.f\left ( \dfrac{m}{m+1}\right )\right ]=-c^2<0$

       

        $\Rightarrow \begin{bmatrix} f(0).f(1)<0\\f(0).f\left (\dfrac{m}{m+1}\right )<0 \end{bmatrix}$

       

        $\Rightarrow \begin{bmatrix} \exists \ \alpha \in (0;1) \ | \ f(\alpha )=0 \ \ \ (1)\\\exists \ \alpha \in \left (0;\dfrac{m}{m+1}\right )\subset (0;1) \ | \ f(\alpha )=0 \ \ \ (2) \end{bmatrix}$

 

 Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra điều cần chứng minh

[buibichlien]

 Đặt $f(x)=ax^2+bx+c$

 Khi đó :

        $f(0)=c$

        $f(1)=a+b+c$

        $f\left ( \dfrac{m}{m+1}\right )=\dfrac{m^2a}{(m+1)^2}+\dfrac{mb}{m+1}+c$

        $\Rightarrow mf(1)+(m+1)^2.f\left ( \dfrac{m}{m+1}\right )=m(m+1)a+m(m+2)b+(m+1)(m+2)c-c=-c$

        $\Rightarrow f(0).\left [mf(1)+(m+1)^2.f\left ( \dfrac{m}{m+1}\right )\right ]=-c^2<0$

       

        $\Rightarrow \begin{bmatrix} f(0).f(1)<0\\f(0).f\left (\dfrac{m}{m+1}\right )<0 \end{bmatrix}$

       

        $\Rightarrow \begin{bmatrix} \exists \ \alpha \in (0;1) \ | \ f(\alpha )=0 \ \ \ (1)\\\exists \ \alpha \in \left (0;\dfrac{m}{m+1}\right )\subset (0;1) \ | \ f(\alpha )=0 \ \ \ (2) \end{bmatrix}$

 

 Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra điều cần chứng minh

Làm thế nào để nghĩ ra cách này vậy ạ?