Chủ đề này có 3 trả lời

[halloffame]

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O),AB$ không là đường kính. Gọi $P$ là một điểm bất kì tren cung $CD$ không chứa $A,B.PB$ cắt $CD,CA$ ở $F,G.HG$ cắt $EF$ ở $Q.AC,AB$ cắt $BD,CD$ ở $T,S.$ Chứng minh rằng $P,Q,T$ thẳng hàng khi và chỉ khi $OS$ vuông góc $PQ.$

[lebaominh95199]

H là điểm nào vậy bạn.

[halloffame]

Mình xin bổ sung đề như sau: $PA$ cắt $DC,DB$ ở $H,E.$

[lebaominh95199]

Bài này hiện giờ mình chỉ chứng minh được một chiều thôi. Có bạn nào giỏi chứng minh giúp mình chiều còn lại nhé.

Ta đi chứng minh: P,Q,T thẳng hàng $\Rightarrow$ OS vuông góc PQ.

Ta có bổ đề sau: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), AB cắt CD ở P. Kẻ các tiếp tuyến PM, PN tới (O).AD cắt BC ở E, AC cắt BD ở F. Khi đó ta có E,F,M,N thẳng hàng. (Bổ đề này chứng minh khá đơn giản, mình không đề cập ở đây)

Gọi I là giao điểm của PT và SA

Xét $\Delta$BTP có F,Q,E thẳng hàng, ta có:

$\frac{\bar{ET}}{\bar{EB}}\frac{\bar{FB}}{\bar{FP}}\frac{\bar{QP}}{\bar{QT}}=1$ (1)

Xét $\Delta$ATP có H,Q,G thẳng hàng, ta có:

$\frac{\bar{GA}}{\bar{GT}}\frac{\bar{QT}}{\bar{QP}}\frac{\bar{HP}}{\bar{HA}}=1$ (2)

Xét $\Delta$PAB có S,H,F thẳng hàng, ta có:

$\frac{\bar{HA}}{\bar{HP}}\frac{\bar{FP}}{\bar{FB}}\frac{\bar{SB}}{\bar{SA}}=1$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra 3 điểm S,E,G thẳng hàng.

Suy ra (SIAB)=-1 (4)

Gọi SP' là tia tiếp tuyến qua S tới (O) (P' thuộc cung DC chứa P)

Kẻ P'T cắt AB tại I' $\Rightarrow$ (SI'AB)=-1 (5)

Từ (4), (5) suy ra I$\equiv$I' $\Rightarrow$ P$\equiv$P'

Suy ra OS vuông góc PQ.

File gửi kèm

•  HINH.bmp   2.42MB   66 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lebaominh95199: 30-11-2015 - 17:59