Chứng minh rằng :
$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$
với mọi số thực dương $a, b, c$
$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+...\leq 8$
#1
Đã gửi 11-11-2015 - 18:08
#2
Đã gửi 11-11-2015 - 20:23
Chứng minh rằng :
$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$
với mọi số thực dương $a, b, c$
( $USA$ )
Đây là một bất đẳng thức đồng bậc .
Giả sử $a+b+c=3$
Bất đẳng thức tương đương
$\frac{(a+3)^{2}}{2a^{2}+(3-a)^{2}}+\frac{(b+3)^{2}}{2b^{2}+(3-b)^{2}}+\frac{(c+3)^{2}}{2c^{2}+(3-c)^{2}} \leq 8$
Cần chứng minh $\frac{(a+3)^{2}}{2a^{2}+(3-a)^{2}} \leq \frac{4}{3}(a-1)+\frac{8}{3}$
$<=>(a-1)^{2}\frac{(4a+3)}{3a^{2}-6a+9} \geq 0$ ( hiển nhiên đúng )
Tương tự thì
$\frac{(b+3)^{2}}{2b^{2}+(3-b)^{2}} \leq \frac{4}{3}(b-1)+\frac{8}{3}$
$\frac{(c+3)^{2}}{2a^{2}+(3-c)^{2}} \leq \frac{4}{3}(c-1)+\frac{8}{3}$
Suy ra:
$\frac{(a+3)^{2}}{2a^{2}+(3-a)^{2}}+\frac{(b+3)^{2}}{2b^{2}+(3-b)^{2}}+\frac{(c+3)^{2}}{2c^{2}+(3-c)^{2}} \leq \frac{4}{3}(a+b+c-3)+8=8$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 11-11-2015 - 20:34
- tpdtthltvp, buibichlien và haichau0401 thích
#3
Đã gửi 17-05-2021 - 15:45
Lời giải. Ta có: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}-\frac{4}{3}.\frac{4a+b+c}{a+b+c}=\frac{-(b+c-2a)^2(5a+b+c)}{3(a+b+c)[2a^2+(b+c)^2]}\leqslant 0\Rightarrow\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leqslant \frac{4}{3}.\frac{4a+b+c}{a+b+c}$
Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leqslant \frac{4}{3}.\frac{6(a+b+c)}{a+b+c}=8(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh