Chủ đề này có 2 trả lời

[buibichlien]

Chứng minh rằng :

$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$

với mọi số thực dương $a, b, c$

[Quoc Tuan Qbdh]

Chứng minh rằng :

$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$

với mọi số thực dương $a, b, c$

( $USA$ )

Đây là một bất đẳng thức đồng bậc .

Giả sử $a+b+c=3$ 

Bất đẳng thức tương đương

$\frac{(a+3)^{2}}{2a^{2}+(3-a)^{2}}+\frac{(b+3)^{2}}{2b^{2}+(3-b)^{2}}+\frac{(c+3)^{2}}{2c^{2}+(3-c)^{2}} \leq 8$

Cần chứng minh $\frac{(a+3)^{2}}{2a^{2}+(3-a)^{2}} \leq \frac{4}{3}(a-1)+\frac{8}{3}$

$<=>(a-1)^{2}\frac{(4a+3)}{3a^{2}-6a+9} \geq 0$ ( hiển nhiên đúng )
Tương tự thì

$\frac{(b+3)^{2}}{2b^{2}+(3-b)^{2}} \leq \frac{4}{3}(b-1)+\frac{8}{3}$

$\frac{(c+3)^{2}}{2a^{2}+(3-c)^{2}} \leq \frac{4}{3}(c-1)+\frac{8}{3}$

Suy ra: 

$\frac{(a+3)^{2}}{2a^{2}+(3-a)^{2}}+\frac{(b+3)^{2}}{2b^{2}+(3-b)^{2}}+\frac{(c+3)^{2}}{2c^{2}+(3-c)^{2}} \leq \frac{4}{3}(a+b+c-3)+8=8$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 11-11-2015 - 20:34

[KietLW9]

Lời giải. Ta có: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}-\frac{4}{3}.\frac{4a+b+c}{a+b+c}=\frac{-(b+c-2a)^2(5a+b+c)}{3(a+b+c)[2a^2+(b+c)^2]}\leqslant 0\Rightarrow\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leqslant \frac{4}{3}.\frac{4a+b+c}{a+b+c}$ 

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leqslant \frac{4}{3}.\frac{6(a+b+c)}{a+b+c}=8(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$