Chủ đề này có 1 trả lời

[Kira Tatsuya]

cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a+b+c=6$. tìm $Min$:

$P=\frac{a}{\sqrt{1+b^3}}+\frac{b}{\sqrt{1+c^3}}+\frac{c}{\sqrt{1+a^3}}$

[hoctrocuaHolmes]

cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a+b+c=6$. tìm $Min$:

$P=\frac{a}{\sqrt{1+b^3}}+\frac{b}{\sqrt{1+c^3}}+\frac{c}{\sqrt{1+a^3}}$

Áp dụng AM-GM ta có

$P=\frac{a}{\sqrt{1+b^3}}+\frac{b}{\sqrt{1+c^3}}+\frac{c}{\sqrt{1+a^3}}=\sum \frac{a}{\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}}\geq \sum \frac{2a}{b^{2}+2}=\sum a-\sum \frac{ab^{2}}{b^{2}+2}\geq 6-\sum \frac{ab^{2}}{3\sqrt[3]{\frac{b^{2}}{2}.\frac{b^{2}}{2}.2}}=6-\sum \frac{a\sqrt[3]{2b^{2}}}{3}\geq 6-\sum \frac{1}{9}a(b+b+2)=6-\frac{2}{9}(ab+bc+ca+a+b+c)=6-\frac{2}{9}.6-\frac{2}{9}(ab+bc+ca)$

$\geq \frac{14}{3}-\frac{2}{9}.\frac{(a+b+c)^{2}}{3}=\frac{14}{3}-\frac{2.36}{27}=2$ (chú ý gt $a+b+c=6$)

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=2$

Vậy $P_{min}=2\Leftrightarrow a=b=c=2$