Chủ đề này có 10 trả lời

[robot3d]

cho a,b>0. và ab=1

CMR: 

$\sum \frac{a^3}{1+b^2}\geq 1$

[Minhnguyenthe333]

cho a,b>0. và ab=1

CMR: 

$\sum \frac{a^3}{1+b^2}\geq 1$

$T=\sum \frac{a^4}{a+ab^2}\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{a+b+ab(a+b)}\geq \frac{(a+b)^3}{8}\geq \frac{8}{8}=1$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

[robot3d]

$T=\sum \frac{a^4}{a+ab^2}\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{a+b+ab(a+b)}\geq \frac{(a+b)^3}{8}\geq \frac{8}{8}=1$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

làm theo cầu chỳ ngược được k bạn? t dang sn cách này. tks bạn    

[Minhnguyenthe333]

làm theo cầu chỳ ngược được k bạn? t dang sn cách này. tks bạn    

mình thấy cách này nhanh hơn

[520]

cho a,b>0. và ab=1

CMR: 

$\sum \frac{a^3}{1+b^2}\geq 1$

Ta có $\frac{a^{3}}{1+b^{2}}=a^{3}-\frac{a^{3}b^{2}}{1+b^{2}}\geq a^{3}-\frac{a^{3}b^{2}}{2b}\geq a^{3}-\frac{a^{2}}{2}$

Bài toán trở thành tìm min của $a^{3}+b^{3}-(\frac{a^{2}+b^{2}}{2})$

Ta có $(a+b)^{3}-3ab(a+b)-\frac{(a+b)^{2}}{2}+ab=t^{3}-\frac{t^{2}}{2}-3t+1\geq 1$

$\Rightarrow 2t^{3}-t^{2}-6t\geq 0$

$\Rightarrow 2t(t-2)(2t+3)\geq 0$ (luôn đúng với $t\geq 2$)

[robot3d]

mình thấy cách này nhanh hơn

 

[robot3d]

Ta có $\frac{a^{3}}{1+b^{2}}=a^{3}-\frac{a^{3}b^{2}}{1+b^{2}}\geq a^{3}-\frac{a^{3}b^{2}}{2b}\geq a^{3}-\frac{a^{2}}{2}$

Bài toán trở thành tìm min của $a^{3}+b^{3}-(\frac{a^{2}+b^{2}}{2})$

Ta có $(a+b)^{3}-3ab(a+b)-\frac{(a+b)^{2}}{2}+ab=t^{3}-\frac{t^{2}}{2}-3t+1\geq 1$

$\Rightarrow 2t^{3}-t^{2}-6t\geq 0$

$\Rightarrow 2t(t-2)(2t+3)\geq 0$ (luôn đúng với $t\geq 2$)

đang đúng chổ ngứa. tks bạn    

[bovuotdaiduong]

$T=\sum \frac{a^4}{a+ab^2}\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{a+b+ab(a+b)}\geq \frac{(a+b)^3}{8}\geq \frac{8}{8}=1$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

Bạn làm ơn giải chi tiết giúp mình với được không? Mình không hiểu

[robot3d]

Bạn làm ơn giải chi tiết giúp mình với được không? Mình không hiểu

$T=\frac{a^4}{a+ab^2}+\frac{b^4}{b+a^2b}\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{a+b+ab(a+b)}\geq \frac{(a+b)^4}{4(a+b)(1+ab)}=\frac{(a+b)^3}{4(1+1)}$

$(a+b)^2\geq 4ab=4=>a+b\geq 2=>(a+b)^3/8\geq 8/8=1$

[bovuotdaiduong]

$T=\frac{a^4}{a+ab^2}+\frac{b^4}{b+a^2b}\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{a+b+ab(a+b)}\geq \frac{(a+b)^4}{4(a+b)(1+ab)}=\frac{(a+b)^3}{4(1+1)}$

$(a+b)^2\geq 4ab=4=>a+b\geq 2=>(a+b)^3/8\geq 8/8=1$

Mình hiểu rồi. Cảm ơn bạn.

[robot3d]

Mình hiểu rồi. Cảm ơn bạn.

k c gì