Chủ đề này có 3 trả lời

[robot3d]

cho a,b,c là các số dương, $a\geq max\left \{ b,c \right \}$ tìm min P:

P=$\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$

     

[Quoc Tuan Qbdh]

cho a,b,c là các số dương, $a\geq max\left \{ b,c \right \}$ tìm min P:

P=$\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$

     

Từ bài cho ta được :

$\frac{a}{b} \geq 1$ và $0<\frac{c}{a} \leq 1$

Ta có :

$\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}} \geq \frac{a}{b}+2\sqrt{2}\sqrt[4]{\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{\frac{c}{a}}(AM-GM)$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{a}{b}+4\sqrt[4]{\frac{b}{c}}+6\sqrt[6]{\frac{c}{a}})+(1-\frac{1}{\sqrt{2}}).\frac{a}{b}+3(\sqrt[3]{2}-\sqrt{2})\sqrt[6]{\frac{c}{a}}$

$\geq 11\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt[11]{\frac{abc}{abc}}+1-\frac{1}{\sqrt{2}}+3(\sqrt[3]{2}-\sqrt{2})=1+2\sqrt{2}+3\sqrt[3]{2}(AM-GM)$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 19-11-2015 - 21:10

[robot3d]

 

Từ bài cho ta được :

$\frac{a}{b} \geq 1$ và $0<\frac{c}{a} \leq 1$

Ta có :

$\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}} \geq \frac{a}{b}+2\sqrt{2}\sqrt[4]{\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{\frac{c}{a}}$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{a}{b}+4\sqrt[4]{\frac{b}{c}}+6\sqrt[6]{\frac{c}{a}})+(1-\frac{1}{\sqrt{2}}).\frac{a}{b}+3(\sqrt[3]{2}-\sqrt{2})\sqrt[6]{\frac{c}{a}}$

$\geq 11\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt[11]{\frac{xyz}{xyz}}+1-\frac{1}{\sqrt{2}}+3(\sqrt[3]{2}-\sqrt{2})=1+2\sqrt{2}+3\sqrt[3]{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

 

ý tưởng cho dạng này ntn a ơi?    

[Quoc Tuan Qbdh]

ý tưởng cho dạng này ntn a ơi?    

Do điều kiện bài cho chỉ có thể đánh giá

$0<\frac{c}{a}\leq 1;0<\frac{b}{a}\leq 1;\frac{a}{b} \geq 1;\frac{a}{c} \geq 1$ 

Nên sau bước $AM-GM$ đầu tiên

$\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}} \geq \frac{a}{b}+2\sqrt{2}\sqrt[4]{\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{\frac{c}{a}}(AM-GM)$

Ta có thể $AM-GM$ lần nữa để làm mất đi các biến $a;b;c$ 

Nhận thấy chỉ có thể đặt $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ra ngoài để $2\sqrt{2}\sqrt[4]{\frac{b}{c}}$ được sử dụng vừa đủ được hạng tử trong ngoặc $4\sqrt[4]{\frac{b}{c}}$ vì $\frac{b}{c}$ không có quan hệ gì với hằng số cho trước. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 19-11-2015 - 21:20