Chủ đề này có 2 trả lời

[nghia_metal]

Cho $x,y,z$ thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x+1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghia_metal: 20-11-2015 - 19:56

[Nguyen Minh Hai]

Cho $x,y,z$ thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$

Em nghĩ BĐT đúng phải là $x^2+y^2+z^2 \leqslant x^2y+y^2z+z^2x+1$

Ta có $x,y,z \in [0;1]$ do đó: 

$(x-1)(y-1)(z-1) \leqslant 0$   $\Leftrightarrow xyz-(xy+yz+zx)+(x+y+z)-1 \leqslant 0$

                $\Rightarrow xy+yz+zx \geqslant x+y+z+xyz-1 \geqslant x+y+z-1$

Lại có :   $x(x-1)(y-1) \geqslant 0$   $\Leftrightarrow x^2y \geqslant x^2+xy-x$

Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng theo vế ta được : 

$x^2y+y^2z+z^2x \geqslant x^2+y^2+z^2+(xy+yz+zx)-(x+y+z) \geqslant x^2+y^2+z^2-1 $ 

Do đó ta có đpcm.

[quan1234]

Cho $x,y,z$ thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$

Theo mình đề phải là $x^2+y^2+z^2\leq x^2y+y^2z+z^2x+1$ chứ