Chủ đề này có 2 trả lời

[Hoang Long Le]

 Cho các số thực $a,b,c$ không âm. Chứng minh rằng :

$$\dfrac{a}{4b^2+bc+4c^2}+\dfrac{b}{4c^2+ca+4a^2}+\dfrac{c}{4a^2+ab+4b^2}\geq \dfrac{1}{a+b+c}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Long Le: 23-11-2015 - 14:02

[Quoc Tuan Qbdh]

 Cho các số thực $a,b,c$ không âm. Chứng minh rằng :

$$\dfrac{a}{4b^2+bc+4c^2}+\dfrac{b}{4c^2+ca+4a^2}+\dfrac{c}{4a^2+ab+4b^2}\geq \dfrac{1}{a+b+c}$$

 

 

Spoiler

I got a bad solution with Vornicu-Schur's Inequality :thuglife:

Áp dụng BĐT $C-S$ ta có :

$\sum \frac{a}{4b^{2}+bc+4c^{2}}= \sum \frac{a^{2}}{4ab^{2}+abc+4ac^{2}} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3abc + 4 \sum ab(a+b)}$

Bây giờ cần chứng minh

$\frac{(a+b+c)^{2}}{3abc + 4 \sum ab(a+b)} \geq \frac{1}{a+b+c}$

$<=>a^{3}+b^{3}+c^{3}+ 6abc + 3 \sum ab(a+b) \geq 3abc+ 4 \sum ab(a+b)$

$<=>a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc \geq \sum ab(a+b)$

$<=> \sum a(a-b)(a-c) \geq 0$ ( đúng theo BĐT $Schur$ )

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 23-11-2015 - 14:03

[Hoang Long Le]

 

Áp dụng BĐT $C-S$ ta có :

$\sum \frac{a}{4b^{2}+bc+4c^{2}}= \sum \frac{a^{2}}{4ab^{2}+abc+4ac^{2}} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3abc + 4 \sum ab(a+b)}$

Bây giờ cần chứng minh

$\frac{(a+b+c)^{2}}{3abc + 4 \sum ab(a+b)} \geq \frac{1}{a+b+c}$

$<=>a^{3}+b^{3}+c^{3}+ 6abc + 3 \sum ab(a+b) \geq 3abc+ 4 \sum ab(a+b)$

$<=>a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc \geq \sum ab(a+b)$

$<=> \sum a(a-b)(a-c) \geq 0$ ( đúng theo BĐT $Schur$ )

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

 

 

 Đậu Răng tự nhiên hôm qua làm xong nó bị ngược dấu nhở :v Chắc tại đêm khuya buồn ngủ nên khai triển ngu :v

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Long Le: 23-11-2015 - 14:20