2 replies to this topic

[gianglqd]

Cho tam giác ABC và 1 điểm M bất kì trong mặt phẳng. Gọi A', B', C' lần lượt đối xứng với M qua trung điểm các cạnh BC, CA, AB.

a) CMR: AA', BB', CC' đồng quy tại K

b) CMR: KM qua trọng tâm G của tam giác ABC 

[lebaominh95199]

 untitled.bmp   582.22KB   61 downloads

Vì M và C' đối xứng nhau qua trung điểm AB nên tứ giác AC'BM là hình bình hành $\Rightarrow$ AC'=BM và AC' song song với BM (1)

Vì M và A' đối xúng nhau qua trung điểm của BC nên tứ giác BA'CM là hình bình hành $\Rightarrow$ BM=A'C và BM song song với A'C (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AC'A'C là hình bình hành $\Rightarrow$ CC' VÀ AA' đi qua trung điểm của AA' (3)

Tương tự, ta có BAB'A' là hình bình hành $\Rightarrow$ BB' và AA' đi qua trung điểm của AA' (4)

Từ (3) và (4) suy ra AA',BB',CC' đồng quy tại K là trung điểm của AA'( K cũng là trung điểm của CC',BB')

Ta có: $\vec{KM}=\vec{KC'}+\vec{C'M}$

$=\frac{1}{2}\vec{CC'}+\vec{C'A}+\vec{C'B}$

$=\frac{1}{2}(\vec{CA}+\vec{AB}+\vec{BC'})+\vec{BA}+2\vec{BM}$

$=-\frac{1}{2}\vec{AB}-\frac{1}{2}\vec{AC}+\frac{3}{2}\vec{AM}$ (5)

Lại có $\vec{KG}=\vec{KM}+\vec{MA}+\vec{AG}$

$=-\frac{1}{2}\vec{AB}-\frac{1}{2}\vec{AC}+\frac{3}{2}\vec{AM}+\vec{MA}+\frac{1}{3}(\vec{AB}+\vec{AC})$

$=-\frac{1}{6}\vec{AB}-\frac{1}{6}\vec{AC}+\frac{1}{2}\vec{AM}$ (6)

Từ (5) và (6) suy ra $\vec{KM}=3\vec{KG}$ $\Rightarrow$ KM đi qua trong tâm G của tam giác ABC.

Edited by lebaominh95199, 06-12-2015 - 09:27.

[gianglqd]

Bài này áp dụng tính chất hình học phẳng sẽ nhanh hơn vecto