Chủ đề này có 2 trả lời

[quanguefa]

Cho x thuộc R. Chứng minh:

$-1< \sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}< 1$

[tcqang]

Áp dụng BĐT tam giác:  |MA - MB| < AB. Với 

$M(x;0) ; A(\frac{-1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}) ; B(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$

ta có ngay đpcm.

[lebaominh95199]

Cho x thuộc R. Chứng minh:

$-1< \sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}< 1$

Cách của mình hơi dài nhưng khá tự nhiên.

Ta có:$\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}= \frac{2x}{ \sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}}$

Lại có:$\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}\leq \sqrt{4x^{2}+4}$

Xét x=0, ta thấy thỏa mãn.

Xét x<0, ta có:$\frac{2x}{ \sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}}\leq \frac{2x}{\sqrt{4x^{2}+4}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}< 0< 1$

Xét x>0, ta có:$\frac{2x}{ \sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}}\geq \frac{2x}{\sqrt{4x^{2}+4}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}> 0> -1$

Vậy suy ra điều phải chứng minh.