cho ba số không âm thỏa mãn $a\geq b\geq c$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
CMR:$\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\leq 1$
$\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\leq 1$
#1
Đã gửi 03-12-2015 - 18:39
#2
Đã gửi 17-05-2021 - 15:22
Lời giải. Ta luôn có:
$(b-1)^2(b+2)\geqslant 0\Leftrightarrow 3b-b^3\leqslant 2$
Quy đồng rồi rút gọn bất đẳng thức cần chứng minh, ta được:
$ab^2+bc^2+ca^2+2(a^2+b^2+c^2)\leqslant 8+abc\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leqslant 2+abc$
Vì $a\geqslant b\geqslant c$ nên
$a(b-a)(b-c)\leqslant 0\Leftrightarrow ab^2+ca^2\leqslant a^2b+abc\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leqslant a^2b+bc^2+abc=b(a^2+b^2+c^2)-b^3+abc=3b-b^3+abc\leqslant 2+abc$
Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c = 1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh