Chủ đề này có 5 trả lời

[Kira Tatsuya]

$a,b,c>0$ và$a+b+c=1$.Chứng minh:

$\frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{c+a}+\frac{c^2+a}{a+b}\geq2$

[bvptdhv]

Viết lại BĐT $\sum \frac{a^{2}}{b+c}+\sum \frac{b}{b+c} \geq 2$

Ta có $\sum \frac{a^{2}}{b+c} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)} =\frac{1}{2} (1)$

Mặt khác theo BĐT Chebyshev, ta có $\sum \frac{b}{b+c}=\sum \frac{a}{1-a} \geq \frac{1}{3}(\sum a)(\sum \frac{1}{1-a}) \geq \frac{3}{2} (2)$

Từ $(1)(2) =>đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bvptdhv: 06-12-2015 - 10:40

[HoangVienDuy]

Áp dụng AM-GM:

$P=\sum \frac{a^{2}}{b+c}+\sum \frac{b}{b+c}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}+\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq \frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$

[royal1534]

Viết lại BĐT $\sum \frac{a^{2}}{b+c}+\sum \frac{b}{b+c} \geq 2$

Ta có $\sum \frac{a^{2}}{b+c} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)} =\frac{1}{2} (1)$

Mặt khác theo BĐT Chebyshev, ta có $\sum \frac{b}{b+c}=\sum \frac{a}{1-a} \geq \frac{1}{3}(\sum a)(\sum \frac{1}{1-a}) \geq \frac{3}{2} (2)$

Từ $(1)(2) =>đpcm$

Tại sao $\sum \frac{b}{b+c}=\sum \frac{a}{1-a}$

[Kira Tatsuya]

Viết lại BĐT $\sum \frac{a^{2}}{b+c}+\sum \frac{b}{b+c} \geq 2$

Ta có $\sum \frac{a^{2}}{b+c} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)} =\frac{1}{2} (1)$

Mặt khác theo BĐT Chebyshev, ta có $\sum \frac{b}{b+c}=\sum \frac{a}{1-a} \geq \frac{1}{3}(\sum a)(\sum \frac{1}{1-a}) \geq \frac{3}{2} (2)$

Từ $(1)(2) =>đpcm$

 

Áp dụng AM-GM:

$P=\sum \frac{a^{2}}{b+c}+\sum \frac{b}{b+c}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}+\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq \frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$

sao mình thấy cái phần $\sum \frac{b}{b+c}\geq\frac{3}{2}$ cứ sai thế nào đấy, có cần giả sử gì không ?

[royal1534]

sao mình thấy cái phần $\sum \frac{b}{b+c}\geq\frac{3}{2}$ cứ sai thế nào đấy, có cần giả sử gì không ?

 

 

$a,b,c>0$ và$a+b+c=1$.Chứng minh:

$\frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{c+a}+\frac{c^2+a}{a+b}\geq2$

Lời giải:

Ta có $VT+1=\frac{a^{2}+b}{b+c}+a+\frac{b^{2}+c}{a+c}+b+\frac{c^{2}+a}{a+b}+c$

                 $=\frac{a(a+b+c)+b}{b+c}+\frac{b(b+a+c)+c}{a+c}+\frac{c(c+a+b)+a}{a+b}$ 

                $ =\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{c+a}{a+b} \geq 3$ (BĐT AM-GM)

$\rightarrow VT+1 \geq 3$ 

$\rightarrow VT \geq 2 $

Vậy ta có đpcm.Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$