Chủ đề này có 3 trả lời

[minhrongcon2000]

Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$ab+bc+ca+max(|a-b|,|b-c|,|c-a|)\leqslant 1+\frac{1}{3}(a+b+c)^{2}$

trong đó max(x,y,z) là số lớn nhất trong bộ ba số x,y,z

Bài 2: Cho các số nguyên dương a,b,c. p nguyên tố thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện sau:

i) $a^{2}+ab+b^{2}\vdots p$

ii) $a^{5}+b^{5}+c^{5}\vdots p$

iii) a+b+c không chia hết cho p

Chứng minh rằng p là số nguyên tố có dạng 6k+1

Bài 3: Cho $\Delta ABC$ khác tam giác cân nội tiếp đường tròn w. Gọi D,E,F lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp ừng với ba đỉnh A,B,C. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đường tròn (EIF) cắt w tại $A_{1},A_{2}$.

1) Chứng minh $A_{1}A_{2},EF,BC$ đồng quy

2) Đường tròn (DIF) cắt w tại $B_{1},B_{2}$, đường (DIE) cắt tại $C_{1},C_{2}$. $A_{1}A_{2},B_{1}B_{2},C_{1}C_{2}$ tạo thành 1 tam giác. Chứng minh diện tích tam giác này nhỏ hơn $\frac{1}{4}$ diện tích tam giác ABC.

Bài 4: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa 

f(xf(y)-1)+f(xy)=2xy-1

với mọi x,y.

[superpower]

Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$ab+bc+ca+max(|a-b|,|b-c|,|c-a|)\leqslant 1+\frac{1}{3}(a+b+c)^{2}$

trong đó max(x,y,z) là số lớn nhất trong bộ ba số x,y,z

Bài 2: Cho các số nguyên dương a,b,c. p nguyên tố thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện sau:

i) $a^{2}+ab+b^{2}\vdots p$

ii) $a^{5}+b^{5}+c^{5}\vdots p$

iii) a+b+c không chia hết cho p

Chứng minh rằng p là số nguyên tố có dạng 6k+1

Bài 3: Cho $\Delta ABC$ khác tam giác cân nội tiếp đường tròn w. Gọi D,E,F lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp ừng với ba đỉnh A,B,C. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đường tròn (EIF) cắt w tại $A_{1},A_{2}$.

1) Chứng minh $A_{1}A_{2},EF,BC$ đồng quy

2) Đường tròn (DIF) cắt w tại $B_{1},B_{2}$, đường (DIE) cắt tại $C_{1},C_{2}$. $A_{1}A_{2},B_{1}B_{2},C_{1}C_{2}$ tạo thành 1 tam giác. Chứng minh diện tích tam giác này nhỏ hơn $\frac{1}{4}$ diện tích tam giác ABC.

Bài 4: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa 

f(xf(y)-1)+f(xy)=2xy-1

với mọi x,y.

Làm bài 4

Thay $x=0 => f(-1) + f(0) =-1$

Thay $y=0 => f(xf(0)-1) + f(0) =-1$

Giả sử $f(0)$ khác $0$, thay $x = \frac{1}{f(0)}$, ta được $2f(0)=-1 => f(0)=\frac{-1}{2} => f(-1)=\frac{-1}{2}$

Khi đó, ta có $f( \frac{-1}{2} x -1) =\frac{-1}{2} => f(x)= \frac{-1}{2}$ Vô lý

Do đó $f(0)=0$

Giả sử tồn tại $a$ khác 0 sao cho $f(a)=0$; ta dễ suy ra được $a=0$

Do đó $f(a)=0 => a=0$

Từ phương trình đầu, thay $y=-1$, ta được

$f(-x-1) + f(-x) = -2x+1$

Thay $x-> -x$, ta được 

$f(x-1)+f(x)=2x+1$

Do đó suy ra $f(1)=1$

Cũng từ phương trình đầu, thay $x-> \frac{1}{y}$ với $y$ khác 0

Ta được $f(\frac{f(y)}{y} -1) + f(1) = 2 -1 => f(\frac{f(y)}{y} -1)=0 => f(y)=y$

Thử lại thấy thỏa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 13-12-2015 - 18:31

[huuhieuht]

câu 1 dồn biến toàn miền là ra

[minhrongcon2000]

Bạn làm kĩ câu 1 hơn được ko? Mình cũng mới bắt đầu học bất đẳng thức!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhrongcon2000: 13-12-2015 - 10:19