2 replies to this topic

[Zaraki]

Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ bé hơn $2015$ mà chia hết cho $\left\lfloor \sqrt[3]{n} \right \rfloor$ ? Ở đây $\left \lfloor a \right \rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $a (a \in \mathbb{R})$.

Edited by Zaraki, 21-12-2015 - 14:24.

[Mai Thanh Binh]

Ta có 
$1^3=1

2^3=8
3^3=27
4^3= 64
5^3=125
6^3=216
7^3= 343
8^3= 512
9^3= 729
10^3=1000
11^3=1331
12^3= 1728

13^3= 2197$

như vậy những số bé hơn $\sqrt[3]{2015}$ là  từ 1 tới 12
Xét n từ 1 tới 7. $\sqrt[3]{n}=1$ như vậy có $\frac{7-1}{1}+1=7$
Xét n từ 8 tới 26 $\sqrt[3]{n}=2$  Như vậy có $\frac{26-8}{2}+1=10$

n từ 27 tới 63 sẽ có 13 số 
n từ 64 tới 124  sẽ có 16 số
Tương tự các số tiếp theo lần lượt là 19,22, 25,28,31,34, 37, từ 1728 tới 2015 có 24 giá trị chia hết cho 12

Như thế tổng  kết quả sẽ là 7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37+24=266 
 

[Min Nq]

Ta có thể xây dựng luôn công thức tổng quát tính "số bội của một số nằm trong một khoảng cho trước" rồi áp dụng vào bài toán này.

Với điều kiện n,a,b là số nguyên dương và a<b thì số bội của n thuộc [a;b] được tính bằng công thức:

$\left \lfloor \frac{b}{n} \right \rfloor-\left \lceil \frac{a}{n} \right \rceil+1$