Giải giúp em 2 bài này ạ.
Chuỗi hội tụ hay phân kỳ $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{2 + cosn}{n+ lnn}$ và $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{\pi ^{n}-n^{\pi}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi taohandsome: 23-12-2015 - 19:07
Giải giúp em 2 bài này ạ.
Chuỗi hội tụ hay phân kỳ $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{2 + cosn}{n+ lnn}$ và $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{\pi ^{n}-n^{\pi}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi taohandsome: 23-12-2015 - 19:07
Giải giúp em 2 bài này ạ.
Chuỗi hội tụ hay phân kỳ $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{2 + cosn}{n+ \ln{n}}$ và $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{\pi ^{n}-n^{\pi}}$
Chuỗi thứ nhất: Dùng tiêu chuẩn so sánh cho hai chuỗi số dương suy ra chuỗi thứ nhất phân kỳ.
Cụ thể
(Vì $\ln{(n+1)}<n.$)
Chuỗi thứ hai:
Dùng BĐT $$e^{x}\ge x^{k}/k!.$$
Chọn $k=4$, ta có
$$\pi^n-n^{\pi} \ge e^n n^3\ge n^4/4!-n^3= n^3(n/24-1) \ge n^3 \, \forall n \ge 48.$$
Dùng tiêu chuẩn so sánh cho hai chuỗi số dương, ta suy ra đươc
$$\sum_{n=48}^{\infty }\frac{1}{\pi ^{n}-n^{\pi}}$$ hội tụ.
Vì vậy $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{\pi ^{n}-n^{\pi}}$ hội tụ.
Đời người là một hành trình...
Chuỗi thứ hai:
Dùng BĐT $$e^{x}\ge x^{k}/k!.$$
Chọn $k=4$, ta có
$$\pi^n-n^{\pi} \ge e^n n^3\ge n^4/4!-n^3= n^3(n/24-1) \ge n^3 \, \forall n \ge 48.$$
Dùng tiêu chuẩn so sánh cho hai chuỗi số dương, ta suy ra đươc
$$\sum_{n=48}^{\infty }\frac{1}{\pi ^{n}-n^{\pi}}$$ hội tụ.
Vì vậy $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{\pi ^{n}-n^{\pi}}$ hội tụ.
em dùng cách này có ổn không ạ
Ta có: $\pi ^{n}-n^{\pi }>1$ $\forall n\geqslant 1$
Suy ra $\frac{1}{\sqrt[n]{\pi ^{n}-n^{\pi }}}<1$
Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi này hội tụ
em dùng cách này có ổn không ạ
Ta có: $\pi ^{n}-n^{\pi }>1$ $\forall n\geqslant 1$
Suy ra $\frac{1}{\sqrt[n]{\pi ^{n}-n^{\pi }}}<1$
Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi này hội tụ
Áp dụng không đúng!
Điều cần chỉ ra là $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\pi ^{n}-n^{\pi }}}=c<1$.
Ta có thể c/m được nhưng không phải nhu bên trên!
Đời người là một hành trình...
Chú ý : Xét chuỗi Riemann $\sum \frac{1}{n^{s}}$ , chuỗi phân kì khi $s\leq 1$ còn hội tụ khi $s> 1$
1/ Ở ý thứ nhất nên đánh giá sau thì tốt hơn (với BĐT $\ln n< n$) $\frac{2+cosn}{n+\ln n}> \frac{1}{2n}$ , vì $cosn\rightarrow -1$
2/ Ở ý thứ 2 ta có thể dùng quy nạp chỉ ra BĐT sau $\pi ^{n}> 2.n^{\pi }$ đúng với mọi $n\geq 10$ .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuliem1987: 24-12-2015 - 17:10
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh