Chủ đề này có 1 trả lời

[datmc07061999]

  Nhờ mọi người chứng minh một tính chất hình khá hay này

   Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$, $AC\cap BD={E}$,$AB\cap CD=F, AD\cap BC=G$, $OE\cap FG={H}$

       Chứng minh $OE.OH=EB.ED$ (hay cm $OBHD$ nội tiếp)

   Từ đó suy ra $H$ là điểm $Miken$ của tứ giác toàn phần trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datmc07061999: 24-12-2015 - 17:33

[anhquannbk]

  Nhờ mọi người chứng minh một tính chất hình khá hay này

   Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$, $AC\cap BD={E}$,$AB\cap CD=F, AD\cap BC=G$, $OE\cap FG={H}$

       Chứng minh $OE.OH=EB.ED$ (hay cm $OBHD$ nội tiếp)

   Từ đó suy ra $H$ là điểm $Miken$ của tứ giác toàn phần trên.

 Giả sử gọi K là giao điểm của hai đường tròn (FBC) và (GCD)

Ta có:$ \angle GKC $+$ \angle CKF $ = $ \angle ADC $+$ \angle ABC $ =$ 180^{0}$

Suy ra G, K, F thẳng hàng

Theo tính chất phương tích ta có: 

$ GK.GF=GB.GC $=$ GO^{2} $-$ R^{2} $
$ FK.FG=FC.FD $=$ FO^{2} $-$ R^{2} $

Suy ra $ GO^{2} $-$FO^{2} $=$GK.GF-FK.FG $=$ GK^{2} $-$ FK^{2} $

Suy ra OK vuông góc với GF

Mặt khác theo định lý Brocard thì O là trực tâm tam giác EFG

nên OE vuông góc với GF tại H

Suy ra K trùng H

$ \angle DHG $=$ \angle DCG $ và $\angle BHF $=$ \angle FCB $ ( do các tứ giác GHCD và FBCH nội tiếp)

suy ra $\angle DHG $=$ \angle BHF $

$\angle DHO $=$ \angle BHO $

 hay HO là phân giác góc DHB

Xét tứ giác DOHB có  HO là phân giác góc DHB mà OB=OD suy ra DOHB nội tiếp

suy ra  OE.EH=ED.EB=EA.EC

 dẫn theo OAHC nội tiếp.

 

Cách này có vẻ chặt chẽ hơn.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 25-12-2015 - 14:34