Bài 2 : Trước hết phải qua một bài toán phụ :
Bài toán phụ :
Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn $\frac{a^{4}}{b}+\frac{c^{4}}{d}=\frac{1}{b + d} ; a^{2}+c^{2} = 1$ .
Chứng minh rằng : $a^{2}d = c^{2}b$.
Giải :
$a^{2}+c^{2} = 1 \Rightarrow (a^{2}+c^{2})^{2} = 1 \Rightarrow \frac{a^{4}}{b}+\frac{c^{4}}{d}=\frac{1}{b + d}=\frac{(a^{2}+c^{2})^{2}}{b + d} \Rightarrow (a^{4}d + c^{4}b)(b + d) =bd(a^{4}+2a^{2}c^{2} + c^{4}) \Rightarrow bda^{4}+d^{2}a^{4}+b^{2}c^{4}+bdc^{4} = bda^{4}+2bda^{2}c^{2}+bdc^{4} \Rightarrow d^{2}a^{4}+b^{2}c^{4} - 2bda^{2}c^{2} = (da^{2}-bc^{2})^{2} = 0 \Rightarrow da^{2}=bc^{2}$
Từ bài toán phụ, ta suy ra :
$\frac{a^{2}}{b}=\frac{c^{2}}{d} \Rightarrow \frac{a^{2012}}{b^{1006}}=\frac{c^{2012}}{d^{1006}} \Rightarrow \frac{a^{2012}}{b^{1006}} + \frac{c^{2012}}{d^{1006}} = 2.\frac{a^{2012}}{b^{1006}}$
Lại có :
$\frac{a^{2}}{b}=\frac{c^{2}}{d} = \frac{a^{2}+c^{2}}{b + d} = \frac{1}{b + d} \Rightarrow \frac{a^{2012}}{b^{1006}}=\frac{c^{2012}}{d^{1006}}=\frac{1}{(b + d)^{1006}} \Rightarrow \frac{a^{2012}}{b^{1006}}+\frac{c^{2012}}{d^{1006}}=2.\frac{1}{(b + d)^{1006}} = \frac{2}{(b + d)^{1006}}$
Theo cách giải này, ta thấy đề bài có bài toán tổng quát sau :
Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn $\frac{a^{4}}{b}+\frac{c^{4}}{d}=\frac{1}{b + d} ; a^{2}+c^{2} = 1$.
Chứng minh rằng :
$\frac{a^{2m}}{b^{m}}+\frac{c^{2m}}{d^{m}} = \frac{2}{(b + d)^{m}}$
(m > 0)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tquangmh: 02-01-2016 - 22:42
