Chủ đề này có 4 trả lời

[gianglqd]

Giải PT:

$(1+\sqrt{2})^{x}=x+\sqrt{1+x^{2}}$

[quangtq1998]

Giải PT:
$(1+\sqrt{2})^{x}=x+\sqrt{1+x^{2}}$

Ta có : $ (\sqrt{2}+1)^x = x + \sqrt{1+x^2} $
          $ (\sqrt{2}-1)^x = \sqrt{x^2+1}-x $
$\Leftrightarrow (\sqrt{2}-1)^x+ 2x - (\sqrt{2}+1)^x=0 $
Xét $ f(x) = (\sqrt{2}-1)^x+ 2x - (\sqrt{2}+1)^x$
$ f^{(2)}(x) = ln^2(\sqrt{2}-1) ( \sqrt{2}-1)^x - ln^2(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)^x $
$f^{(2)}(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 $
$\Rightarrow  f^{(1)}(x) $có tối đa 2 nghiệm $\Rightarrow f(x)$ có tối đa 3 nghiệm .
Ta thấy $ x= 0 , x=-1, x=1 $ thỏa mãn phương trình
Suy ra phương trình có 3 nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 05-01-2016 - 20:12

[gianglqd]

 

 

Ta có : $ (\sqrt{2}+1)^x = x + \sqrt{1+x^2} $
          $ (\sqrt{2}-1)^x = \sqrt{x^2+1}-x $
$\Leftrightarrow (\sqrt{2}-1)^x+ 2x - (\sqrt{2}+1)^x=0 $
Xét $ f(x) = (\sqrt{2}-1)^x+ 2x - (\sqrt{2}+1)^x$
$ f^{(2)}(x) = ln^2(\sqrt{2}-1) ( \sqrt{2}-1)^x - ln^2(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)^x $
$f^{(2)}(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 $
$\Rightarrow  f^{(1)}(x) $có tối đa 2 nghiệm $\Rightarrow f(x)$ có tối đa 3 nghiệm .
Ta thấy $ x= 0 , x=-1, x=1 $ thỏa mãn phương trình
Suy ra phương trình có 3 nghiệm

chỗ màu đỏ làm sao mà có vậy bạn

Với lại cái kí hiệu $f^{(2)}(x)$ là gì vậy bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gianglqd: 05-01-2016 - 22:17

[NTA1907]

chỗ màu đỏ làm sao mà có vậy bạn

Vì $(\sqrt{2}+1)^{x}.(\sqrt{2}-1)^{x}=1$ nên $(\sqrt{2}-1)^{x}=\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{x}}$

Tương tự $\sqrt{x^{2}+1}-x=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}$

Mà $(\sqrt{2}+1)^{x}=\sqrt{x^{2}+1}+x$ nên ...

[quanguefa]

chỗ màu đỏ làm sao mà có vậy bạn

Với lại cái kí hiệu $f^{(2)}(x)$ là gì vậy bạn

đạo hàm cấp 2 đó bạn, tức là f''(x)