Bài toán 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với trung tuyến AM và điểm Lemoine L. AM cắt (O) tại N khác A. H là hình chiếu của N lên BC và K đối xứng H qua N. KM cắt CA,AB tại E,F. KL cắt CA,AB tại P,Q. PF cắt EQ tại R. Chứng minh rằng AL và KR cắt nhau trên (O).
Bài toán 6. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tâm nội tiếp I. Trên cạnh BC lấy các điểm E,F sao cho AB(BC+AB−AC)/BE=AC(BC+CA−AB)/CF=AB+BC+CA. Gọi M,N là trung điểm của IB,IC. Chứng minh rằng ME,NF cắt nhau trên (O).
Bài toán 8. Cho tam giác ABC với các trung tuyến AD,BE,CF đồng quy tại G. Các điểm X,Y,Z lần lượt thuộc EF,FD,DE sao cho nếu DX,EY,FZ đồng quy tại P thì PX=PY=PZ. Khi đó gọi Q là đẳng giác của P trong tam giác ABC. Chứng minh rằng P,Q,G thẳng hàng.
Bài toán 9. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và trực tâm H. EF là dây cung của (O). Tia đối tia HE,HF cắt đường tròn Euler (N) của tam giác ABC tại P,Q. Gọi FP cắt EQ tại X. Chứng minh rằng bốn điểm E,F,P,Q thuộc một đường tròn (D) và XD luôn đi qua một điểm cố định khi dây EF thay đổi.
Bài toán 10. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) cố định với B,C cố định và A di chuyển trên (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại T. M là trung điểm BC. Đường thẳng qua T vuông góc AM cắt CA,AB tại E,F. BE cắt CF tại D. Chứng minh rằng đường thẳng qua A vuông góc TD luôn đi qua điểm cố định khi A thay đổi.
Bài toán 11. Cho tam giác ABC và P là điểm bất kỳ. Gọi Oa,Ia,Ja lần lượt là tâm ngoại tiếp, tâm nội tiếp và tâm bàng tiếp đỉnh P của tam giác PBC. Tương tự có Ob,Ib,Ic,Oc,Ic,Jc. Gọi da là đường thẳng nối tâm ngoại hai tam giác PIcJb và PIbJc. Tương tự có db,dc. Chứng minh rằng da,db,dc cắt nhau tạo thành tam giác thấu xạ với tam giác OaObOc.
Bài toán 12. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. Đường thẳng qua I vuông góc IA cắt CA,AB tại A1,A2. Ab,Ac lần lượt đối xứng C,B qua A1,A2.
a) Chứng minh rằng AbAc tiếp xúc (I) tại Aa.
b) Tương tự có Bb,Cc. AD,BE,CF đồng quy tại Ge. Chứng minh rằng AAa,BBb,CCc đồng quy trên IGe.
Bài toán 13. Cho tứ giác ABCD có AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F và AC cắt BD tại G. Gọi AC,BD cắt EF tại P,Q. Chứng minh rằng điểm Miquel của tứ giác ABCD nằm trên đường tròn Euler của tam giác GPQ.
Bài toán 14. Cho tứ giác ABCD có AC cắt BD tại E. Giả sử
EA.EB.CD+EC.ED.AB=EA.ED.BC+EB.EC.AD.
Chứng minh rằng tứ giác ABCD ngoại tiếp.
Bài toán 15. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tâm nội tiếp I. Đường tròn (K) tiếp xúc CA,AB tại E,F và tiếp xúc trong (O) tại D. Gọi IB,IC cắt (O) tại M,N khác B,C. L là trung điểm AD. LM,LN lần lượt cắt trung trực AE,AF tại P,Q. Chứng minh rằng đường thẳng qua I vuông góc ID chia đôi PQ.
Bài toán 16. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn (K) tiếp xúc CA,AB tại E,F và tiếp xúc trong (O) tại D. AD cắt (K) tại L khác D. Tiếp tuyến tại L của (K) cắt (O) tại M,N. Gọi P là tâm nội tiếp tam giác DMN. Chứng minh rằng ∠DEP+∠DFP=90∘.
Bài toán 17. Cho tam giác ABC, một đường tròn (K) đi qua B,C cắt đoạn CA,AB tại E,F. BE cắt CF tại H. P thuộc đoạn EF sao cho ∠PAB=∠HAC. Gọi M,N là trung điểm BE,CF. PM,PN lần lượt cắt AB,AC tại K,L. Chứng minh rằng EF chia đôi KL.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 11-01-2016 - 18:12