Bài 529: Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} y^{6}+y^{3}+2x^{2}=\sqrt{xy-x^{2}y^{2}} \\ 8xy^{3}+2y^{3}+\dfrac{1}{2}=4x^{4}+3x^{2}+x+2\sqrt{1+\left ( 2x-y \right )^{2}} \end{matrix}\right.$$----Từ hai bài toán trên có thể thấy được một hướng chế đề từ các tổng bình phương khá hay
Em thấy đề phương trình 2 phải là $8xy^{3}+2y^{3}+\dfrac{1}{2}=4x^{4}+3x^{2}+x+2\sqrt{1+\left ( 2x-y \right )^{2}}$ mới phân tích được thành tổng bình phương.
Điều kiện: $0\leq xy\leq 1$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$y^{6}+y^{3}+2x^{2}=\sqrt{xy(1-xy)}\leq \frac{xy+1-xy}{2}=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 1\geq 2y^{6}+2y^{3}+4x^{2}(*)$
Ta có: $8xy^{3}+2y^{3}+\frac{1}{2}\geq 4x^{4}+3x^{2}+x+2(**)$
Cộng 2 bất đẳng thức (*) và (**) ta được:
$8xy^{3}+2y^{3}+\frac{3}{2}\geq 2y^{6}+2y^{3}+4x^{2}+4x^{4}+3x^{2}+x+2$
$\Leftrightarrow 2y^{6}-8xy^{3}+4x^{4}+7x^{2}+x+\frac{1}{2}\leq 0$
$\Leftrightarrow 2(y^{3}-2x)^{2}+(2x^{2}-\frac{1}{2})^{2}+(x+\frac{1}{2})^{2}\leq 0$
$\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}$ và $y=-1$
Vậy hệ đã cho có nghiệm $(x,y)=\left ( \frac{-1}{2};-1 \right )$
Bài 530: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x+3}=y^{3}-6 & \\ &\sqrt{y+2}=z^{3}-25 & \\ &\sqrt{z+1}=x^{3}+1 & \end{matrix}\right.$
Bài 531: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{4}y^{4}-(x^{2}+y^{2})+1}=1-xy \\ &\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}=\sqrt{2} \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 18-09-2016 - 10:26