Chủ đề này có 1255 trả lời

[lily evans]

Bài 417:

http://diendantoanho...endmatrixright/

[NTA1907]

Bài 414: $\begin{cases} & \sqrt{2(4x^{2}+y^{2})}+\sqrt{5x^{2}+2xy+2y^{2}}=3x-2y \\ & \sqrt{y^{2}+x+6}=2(x+y)+1+5\sqrt{x+1} \end{cases}$

ĐK: $x\geq -1, y^{2}+x+6\geq 0$

Ta chứng minh được:

$\sqrt{2(4x^{2}+y^{2})}\geq 2x-y$

$\sqrt{5x^{2}+2xy+2y^{2}}\geq x-y$

Cộng 2 bất đẳng thức trên ta được $VT\geq VP$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow 2x+y=0$

Đến đây thay vào pt(2) là ok...

[NTA1907]

Bài 417:

http://diendantoanho...endmatrixright/

Post lại đề...

Bài 417: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{y}}=3\\ x\sqrt{y}+\sqrt{y}-2\sqrt{x}=0 \end{matrix}\right.$

P/s: Lần sau bạn nhớ ghi rõ đề bài ra để mọi người tiện theo dõi hơn.

[BlackSelena]

Bài 418, bài này mình đăng lên được 4 ngày nhưng không thấy ai giải mạn phép post vào đây

 

Giải phương trình $$x^3+\sqrt{(x+1)^3} + 1 = 2x^2 + 2x + 2x\sqrt{2x+1}$$

p/s: Mình cũng k biết làm đâu

[NTA1907]

Bài 418, bài này mình đăng lên được 4 ngày nhưng không thấy ai giải mạn phép post vào đây

Đây là topic để mọi người cùng thảo luận, nếu có gì chưa biết thì bạn cứ thoải mái đăng lên đây, không phải "mạn phép" như vậy đâu 

[NTA1907]

Bài 419: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x-x^{2}}+\sqrt{y-y^{2}}+\sqrt{z-z^{2}}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{3}-1}{3}} \\ &(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)=\dfrac{2\sqrt{3}}{9} \end{matrix}\right.$

 

Spoiler

Một hệ phương trình mang đậm tính bất đẳng thức  

[NTA1907]

Bài 416: $\begin{cases} & (xy-3)\sqrt{y+2}+\sqrt{x}=\sqrt{x^{5}}+(y-3x)\sqrt{y+2} \\ & \sqrt{9x^{2}+16}-2\sqrt{2y+8}=4\sqrt{2-x} \end{cases}$

ĐK: $0\leq x\leq 2, y\geq -2$

Pt(1)$\Leftrightarrow \sqrt{y+2}(x-1)(y+3)=\sqrt{x}(x-1)(x+1)$

TH1: $x=1$ ...

TH2: $(y+3)\sqrt{y+2}=(x+1)\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow x=y+2$

Thay vào pt(2) ta được dạng pt 3 căn quen thuộc

[leminhnghiatt]

Bài 415: $\begin{cases} & \sqrt{x^{2}(1+y^{2})}-\sqrt{1+x^{2}}=1-xy \\ & (2x-7xy)(\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+3xy})=5 \end{cases}$

 

Ta có: $x \geq \dfrac{2}{3}; x+3xy \geq 0 \rightarrow 1+3y \geq 0 \rightarrow y \geq \dfrac{-1}{3} \rightarrow xy \geq \dfrac{-2}{9} \rightarrow xy+1>0$

 

$(1) \iff \sqrt{x^2(1+y^2)}-\sqrt{x^2+1}=1-xy$

 

$\iff \dfrac{x^2y^2-1}{\sqrt{x^2(1+y^2)}+\sqrt{x^2+1}}=1-xy$

 

$\iff (xy-1)(\dfrac{xy+1}{\sqrt{x^2(1+y^2)}+\sqrt{x^2+1}}+1)=0$

 

$\iff xy=1$

 

Đến đây thay xuống pt (2)...

[gianglqd]

Ta có: $x \geq \dfrac{2}{3}; x+3xy \geq 0 \rightarrow 1+3y \geq 0 \rightarrow y \geq \dfrac{-1}{3} \rightarrow xy \geq \dfrac{-2}{9} \rightarrow xy+1>0$

 

$(1) \iff \sqrt{x^2(1+y^2)}-\sqrt{x^2+1}=1-xy$

 

$\iff \dfrac{x^2y^2-1}{\sqrt{x^2(1+y^2)}+\sqrt{x^2+1}}=1-xy$

 

$\iff (xy-1)(\dfrac{xy+1}{\sqrt{x^2(1+y^2)}+\sqrt{x^2+1}}+1)=0$

 

$\iff xy=1$

 

Đến đây thay xuống pt (2)...

tiếp cho đầy đủ:

$\Leftrightarrow (2x-7)(\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+3})=5\Leftrightarrow (2x-7)^{2}(\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+3})^{2}=25$

$\Leftrightarrow(2x-7)^{2}[(\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+3})^{2}-1]+(2x-7)^{2}-25=0$

$\Leftrightarrow 2(2x-7)^{2}\dfrac{x^{2}-7x+6}{2x+\sqrt{(3x-2)(x+3)}}+4(x^{2}-7x+6)=0$

$\Leftrightarrow 2(x^{2}-7x+6)\left ( \dfrac{(2x-7)^{2}}{2x+\sqrt{(3x-2)(x+3)}}+2 \right )=0$

Trong ngoặc lớn luôn dương..................

[gianglqd]

Bài 420: $x^{3}+2x-3-2\sqrt{x^{3}-1}=(x^{2}+2x+3)\sqrt{x^{2}-x+1}$

[leminhnghiatt]

Bài 420: $x^{3}+2x-3-2\sqrt{x^{3}-1}=(x^{2}+2x+3)\sqrt{x^{2}-x+1}$

 

ĐK: $x \geq 1$

 

$x^3+2x-3-2\sqrt{x^3-1}=(x^2+2x+3)\sqrt{x^2-x+1}$

 

$\iff (x^3+x^2+x-3)-(x^2+2x+3)\sqrt{x^2-x+1}-(x^2-x)-2\sqrt{x^3-1}=0$

 

$\iff (x^2+2x+3)(x-1)-(x^2+2x+3)\sqrt{x^2-x+1}-x(x-1)-2\sqrt{x^3-1}=0$

 

$\iff (x^2+2x+3)[(x-1)-\sqrt{x^2-x+1}]-x(x-1)-2\sqrt{x^3-1}=0$

 

$\iff \dfrac{-x(x^2+2x+3)}{x-1+\sqrt{x^2-x+1}}-x(x-1)-2\sqrt{x^3-1}=0$

 

Ta có: $VT<0$ với mọi $x \geq 1$, nên phương trình vô nghiệm

[BlackSelena]

Bài 421 (thi thử chuyên Lê Hồng Phong Nam Định):

$$\sqrt{2x+4} - 2\sqrt{2-x} \ge \dfrac{12x-8}{\sqrt{9x^2+16}}$$

Khúc sau khi nhóm nhân tử mình xử lí hơi bê đê, mong có cách đẹp hơn :3

___

 

ĐK: $x \geq 1$

 

$x^3+2x-3-2\sqrt{x^3-1}=(x^2+2x+3)\sqrt{x^2-x+1}$

 

$\iff (x^3+x^2+x-3)-(x^2+2x+3)\sqrt{x^2-x+1}-(x^2-x)-2\sqrt{x^3-1}=0$

 

$\iff (x^2+2x+3)(x-1)-(x^2+2x+3)\sqrt{x^2-x+1}-x(x-1)-2\sqrt{x^3-1}=0$

 

$\iff (x^2+2x+3)[(x-1)-\sqrt{x^2-x+1}]-x(x-1)-2\sqrt{x^3-1}=0$

 

$\iff \dfrac{-x(x^2+2x+3)}{x-1+\sqrt{x^2-x+1}}-x(x-1)-2\sqrt{x^3-1}=0$

 

Ta có: $VT<0$ với mọi $x \geq 1$, nên phương trình vô nghiệm

Hỏi chút là làm thế nào bạn tìm được nhân tử $x^2 + 2x +3$ vậy, vì nó vô nghiệm ấy ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 18-05-2016 - 21:11

[NTA1907]

Bài 419: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x-x^{2}}+\sqrt{y-y^{2}}+\sqrt{z-z^{2}}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{3}-1}{3}} \\ &(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)=\dfrac{2\sqrt{3}}{9} \end{matrix}\right.$

 

Spoiler

Một hệ phương trình mang đậm tính bất đẳng thức  

ĐK: $0\leq x,y,z\leq 1$

Ta sẽ chứng minh: $(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}$

Giả sử $x=max\left \{ x;y;z \right \}$

TH1: $x\geq y\geq z\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)\leq 0$

$\Rightarrow$ Hệ phương trình vô nghiệm

TH2: $x\geq z\geq y$

Đặt $P=(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$

Ta có:

$4P=4(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)\leq 4(z-y)(x-z)(x+y+z)=2(z-y)\left [ (\sqrt{3}+1)(x-z) \right ]\left [ (\sqrt{3}-1)(x+y+z) \right ]\leq \frac{\left [ 2(z-y)+(\sqrt{3}+1)(x-z)+(\sqrt{3}-1)(x+y+z) \right ]^{3}}{27}=\frac{\left [ 2\sqrt{3}x-(3-\sqrt{3})y \right ]^{3}}{27}\leq \frac{1}{27}.(2\sqrt{3}x)^{3}\leq \frac{8\sqrt{3}}{9}$

$\Leftrightarrow P\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=1, y=0, z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Thử lại phương trình 1 ta thấy thoả mãn

Vậy $(x;y;z)=(1;0;\frac{1}{\sqrt{3}})$ và các hoán vị

[NTA1907]

Bài 421 (thi thử chuyên Lê Hồng Phong Nam Định):

$$\sqrt{2x+4} - 2\sqrt{2-x} \ge \dfrac{12x-8}{\sqrt{9x^2+16}}$$

Khúc sau khi nhóm nhân tử mình xử lí hơi bê đê, mong có cách đẹp hơn :3

ĐK: $-2\leq x\leq 2$

Pt$\Leftrightarrow \frac{6x-4}{\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2-x}}\geq \frac{12x-8}{\sqrt{9x^{2}+16}}$

$\Leftrightarrow (3x-2)\left ( \frac{1}{\sqrt{2x+4}-2\sqrt{2-x}}+\frac{2}{\sqrt{9x^{2}+16}} \right )\geq 0$

$\Leftrightarrow (3x-2)\left ( \sqrt{9x^{2}+16}-2\sqrt{2x+4}-4\sqrt{2-x} \right )\geq 0$

Đến đây xét 2 TH...Mình sẽ không giải bpt nữa mà sẽ giải pt, các bạn tự thay dấu vào nhé

$\sqrt{9x^{2}+16}=2\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}$

$\Rightarrow 9x^{2}+16=4(2x-4)+16(2-x)+16\sqrt{2(4-x^{2})}$

$\Leftrightarrow x^{2}+8x+16=8(4-x^{2})+16\sqrt{2(4-x^{2})}+16$

$\Leftrightarrow (x+4)^{2}=\left ( 2\sqrt{2(4-x^{2})}+4 \right )^{2}$

Đến đây dễ rồi...

[leminhnghiatt]

Hỏi chút là làm thế nào bạn tìm được nhân tử $x^2 + 2x +3$ vậy, vì nó vô nghiệm ấy ?

 

Uhm, tại mình nhận thấy ở nó xuất hiện ở vế phải $(x^2+2x+3)\sqrt{x^2-x+1}$ nên mình có hướng tách $x^3+x^2+x-3=(x^2+2x+3)(x-1)$  tạo nhân tử để nhóm vừa khéo cho việc liên hợp

[leminhnghiatt]

Bài 401: $\left\{\begin{matrix}\sqrt{xy}+\sqrt{x-2}=x+y-2 & \\ xy-2x-y+2=2\sqrt{x-y} \end{matrix}\right.$

 

ĐK: $\begin{cases} x \geq 2 \\  xy \geq 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x\geq 2 \\ y \geq 0 \\  x+y > 1  \end{cases}$

 

Đặt: $\begin{cases} \sqrt{xy}=a \\  \sqrt{x-2}=b \\ x+y=c \end{cases}$

 

Thay vào ta có hệ:

 

$\iff \begin{cases} a+b=c-2 \\  a^2-c-b^2=2b \end{cases}$

 

$\iff \begin{cases} b+1=c-a-1 \\  a^2-c+1=(b+1)^2 \end{cases}$

 

$\rightarrow (c-a-1)^2=a^2-c+1$

 

$\rightarrow (c-1)(c-2a)=0$

 

$\rightarrow (x+y-1)(x+y-2\sqrt{xy})=0$

 

$\rightarrow (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=0$

 

$\rightarrow x=y$

 

...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 18-05-2016 - 22:39

[linhphammai]

Bài 421 (thi thử chuyên Lê Hồng Phong Nam Định):

$$\sqrt{2x+4} - 2\sqrt{2-x} \ge \dfrac{12x-8}{\sqrt{9x^2+16}}$$

Khúc sau khi nhóm nhân tử mình xử lí hơi bê đê, mong có cách đẹp hơn :3

___

 

Hỏi chút là làm thế nào bạn tìm được nhân tử $x^2 + 2x +3$ vậy, vì nó vô nghiệm ấy ?

Mình không dám chắc nhưng theo mình nhớ thì bài này hình như có 1 nghiệm vô tỉ thì phải

Hình như có cả nhân tử là $9x^{2} - 32$ thì phải...

và sau khi nhân liên hợp với nhân tử chung này rồi thì cái trong ngoặc vô nghiệm luôn...

Bạn có thể coi đề bài là 1 phương trình để giải thử. Sau đó chuyển sang bất phương trình cũng dễ thôi 

[gianglqd]

Bài 420: $x^{3}+2x-3-2\sqrt{x^{3}-1}=(x^{2}+2x+3)\sqrt{x^{2}-x+1}$

Bài 422: $x^{3}+2x+3-2\sqrt{x^{3}-1}=(x^{2}+2x+3)\sqrt{x^{2}-x+1}$ (thay dấu so với bài 420)

Bài 423: $(7x-10)\sqrt{x-2}=2(\sqrt{2x-3}+1)(2\sqrt{2x-3}+\sqrt{x-2})$

[leminhnghiatt]

Bài 423: $(7x-10)\sqrt{x-2}=2(\sqrt{2x-3}+1)(2\sqrt{2x-3}+\sqrt{x-2})$

 

ĐK: $x \geq 2$

 

Ta có: $(7x-10)\sqrt{x-2}=2(\sqrt{2x-3}+1)(2\sqrt{2x-3}+\sqrt{x-2})$

 

$\iff [(-(x-2)+4(2x-3)]\sqrt{x-2}=2(\sqrt{2x-3}+1)(2\sqrt{2x-3}+\sqrt{x-2})$

 

Đặt $\begin{cases} \sqrt{x-2}=a \ (a\geq 0) \\  \sqrt{2x-3}=b \ (b\geq 0)\end{cases}$

 

$\iff (-a^2+4b^2)a=2(b+1)(a+2b)$

 

$\iff (a+2b)(2b+2+a^2-2ab)=0$

 

$\iff 2b+2+a^2-2ab=0$

 

$\iff 2\sqrt{2x-3}+2+x-2-2\sqrt{(x-2)(2x-3)}=0$

 

$\iff x+2\sqrt{2x-3}-2\sqrt{(x-2)(2x-3)}=0$

 

$\iff 49x^4-504x^3+1800x^2-2592x+1296=0$ (bình phương 2 lần)

 

$\iff \left[\begin{matrix} x=2 \ \ \text{(loại, sau khi đã thử lại)} \\  x=6 \ \ \text{(thỏa mãn)} \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 19-05-2016 - 18:48

[leminhnghiatt]

Bài 422: $x^{3}+2x+3-2\sqrt{x^{3}-1}=(x^{2}+2x+3)\sqrt{x^{2}-x+1}$ (thay dấu so với bài 420)

ĐK: $x \geq 1$

 

$x^3+2x+3-2\sqrt{x^3-1}=(x^2+2x+3)\sqrt{x^2-x+1}$

 

$\iff (x^3+2x^2+3x)-(x^2+2x+3)\sqrt{x^2-x+1}-(2x^2+x-3)-2\sqrt{x^3-1}=0$

 

$\iff (x^2+2x+3)(x-\sqrt{x^2-x+1})-(2x+3)(x-1)-2\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}=0$

 

$\iff (x-1)[\dfrac{x^2+2x+3}{x+\sqrt{x^2-x+1}}-2x-3]-2\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}=0$

 

Với $x =1$ là nghiệm pt

 

Với $x>1$ ta có:

 

$\iff \dfrac{(x-1)(-x^2-x+3-(2x+3)\sqrt{x^2-x+1})}{x+\sqrt{x^2-x+1}}-2\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}=0$ (*)

 

Ta sẽ chứng minh $A=\dfrac{(x-1)(-x^2-x+3-(2x+3)\sqrt{x^2-x+1})}{x+\sqrt{x^2-x+1}}<0$, thật vậy

 

$-x^2-x+3-(2x+3)\sqrt{x^2-x+1}=-x^2-3x+(2x+3)(1-\sqrt{x^2-x+1})$

 

$=-x^2-3x-\dfrac{x(2x+3)(x-1)}{1+\sqrt{x^2-x+1}} <0$ với mọi $x>1$

 

Vậy $A<0 \rightarrow (*)<0$, hay pt vô nghiệm.

 

Vậy $x=1$ là nghiệm duy nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 19-05-2016 - 18:49