Chủ đề này có 1255 trả lời

[leminhnghiatt]

Bài 508: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}(y+1)^2+y\sqrt{y^2+1}=x+\frac{3}{2} \\ x+\sqrt{x^2-2x+5}=1+2\sqrt{2x-4y+2} \end{matrix}\right.$

 

ĐK: $x \geq 2y+1$

 

Từ $(1) \iff 2y^2+4y+2+2y\sqrt{y^2+1}=2x+3$

 

$\iff (\sqrt{y^2+1}+y)^2=2x-4y+2$

 

Dễ thấy $\sqrt{y^2+1} >|y| \geq  -y \rightarrow \sqrt{y^2+1}+y>0$

 

Thế vào (2) ta có: 

 

$\iff x-1+\sqrt{(x-1)^2+4}=2\sqrt{y^2+1}+2y$

 

$\iff (x-1)+\sqrt{(x-1)^2+4}=2y+\sqrt{4y^2+4}$

 

Xét hàm $f(t)=t+\sqrt{t^2+4}$ dễ thấy hàm đồng biến nên $\rightarrow x-1=2y$

 

Đến đây thế (2) $\iff x+\sqrt{x^2-2x+5}=5$

 

Đến đây ta chuyển vế và bình phương bình thường (có điều kiện $x \leq 5$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 03-09-2016 - 20:43

[leminhnghiatt]

Mình có bài toán này đang có ý tưởng nhưng hơi dài và khó thực hiện, mn thử đề xuất ý tưởng xem

 

Bài 509: Giải hệ phương trình:

 

$$ \left\{\begin{matrix} 4y^3-y^4\sqrt{x}+2-\sqrt{6-2x}=0 \\ x(x-3)^2=y \end{matrix}\right.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 03-09-2016 - 21:00

[An Infinitesimal]

 

 

Bài 507: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x^{2}+3xy+4y^{2}}+\sqrt{4x^{2}+3xy+2y^{2}}=3\left ( x+y \right ) \\ \left ( x^{3}-4x+2-\sqrt[3]{3x-2} \right )\sqrt{4x-3}=2y-4y^{2} \end{matrix}\right.$$

Bài này bên k2pi.net.vn có lời giải rồi mà không biết có cách khác gọn hơn không :-s

 

 

Rõ ràng PT thứ nhất là PT đồng bậc.

$$ \sqrt{2\left(x+\frac{3}{4}y\right)^2+\frac{23}{8}y^{2}}+\sqrt{2\left(y+\frac{3}{4}x\right)^2+\frac{23}{8}x^{2}}=3\left ( x+y \right )$$

Vì $VT\ge \sqrt{2\left(\frac{7}{4}x+\frac{7}{4}y\right)^2+\frac{23}{8}(x+y)^2}=3|x+y|\ge VP,$

nên ta có $x=y>0.$

Khi đó PT2 được viết lại

$$\left ( x^{3}-4x+2-\sqrt[3]{3x-2} \right )\sqrt{4x-3}=2x-4x^{2}. (**)$$

 

Với $x\ge \frac{3}{4}$, vì  $VP(**)<0$ nên $x^{3}-4x+2-\sqrt[3]{3x-2}<0.$ Hơn nữa, áp dụng BĐT Cauchy, ta có $\sqrt[3]{3x-2}\le \frac{3x-1+2}{3}=x.$

Suy ra $x^3-5x+2\le x^{3}-4x+2-\sqrt[3]{3x-2} <0$.

Hơn nữa, $\sqrt{4x-3} \le 2x-1.$

Do đó

\[ (2x-1)(x^3-5x+2) \le \left ( x^{3}-4x+2-\sqrt[3]{3x-2} \right )\sqrt{4x-3}.\]

Vì thế $2x-4x^2 \ge (2x-1)(x^3-5x+2).$ 

Suy ra 

$$-(x + 2)(2x - 1)(x - 1)^2\ge 0.$$

Hay $x=1.$

Kiểm tra lại: $(x;y)=(1;1)$ là một nghiệm (cũng là nghiệm duy nhất) của hệ phương trình.

Dùng pp liên hiệp rất cồng kềnh và chưa hoàn tất...

 

\[PT(**) \iff \left ( x^{3}-4x+2-\sqrt[3]{3x-2} \right )\left( \sqrt{4x-3}-1\right)=[\sqrt[3]{3x-2}-1]+(- x^3 - 4x^2 + 6x - 2).\]

\[\iff (x - 1)(x^2 + 5x - 1)=\left(\frac{-4( x^{3}-4x+2-\sqrt[3]{3x-2})}{N}+\frac{3}{M}\right)( x-1).\]

 

$M=\sqrt[3]{(3x-2)^2}+\sqrt[3]{3x-2}+1, N= \sqrt{4x-3}+1$.

 

 

 

P.S: Bài 506 được mình chế dựa vào ý bài bài 505. Hồi trưa, mình phải tìm một đánh giá mới giải được (mình chưa nghĩ thêm hướng khác).

[An Infinitesimal]

Mình có bài toán này đang có ý tưởng nhưng hơi dài và khó thực hiện, mn thử đề xuất ý tưởng xem

 

Bài 509: Giải hệ phương trình:

 

$$ \left\{\begin{matrix} 4y^3-y^4\sqrt{x}+2-\sqrt{6-2x}=0 \\ x(x-3)^2=y \end{matrix}\right.$$

 

Điều đầu tiên, chúng ta thảo luận với nhau về số nghiệm của PT này và dự đoán các nghiệm của hệ?

[leminhnghiatt]

Hệ có 1 nghiệm là: $x=1;y=4$

Từ (1) thay $2-\sqrt{6-2x}=\dfrac{2(x-1)}{2+\sqrt{6-2x}}$ có nghiệm $x=1$ nên liệu có thể đưa $4y^3-y^4\sqrt{x}$ về dạng $(x-1)(,,,)$ đc k

P/s: Đó là hướng của mình, nhưng chắc khó vì phần còn lại ra tận bậc 7

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 04-09-2016 - 09:18
Ghi lại dấu.

[An Infinitesimal]

he co 1 nghiem la: $x=1;y=4$

tu (1) thay $2-\sqrt{6-2x}=\dfrac{2(x-1)}{2+\sqrt{6-2x}}$ co nghiem $x=1$ nen lieu co the dua $4y^3-y^4\sqrt{x}$ ve dang $(x-1)(,,,)$ dc k

p/s: do la huong cua mk, nhung chac kho vi phan con lai ra tan bac 7

 Hệ có nghiệm $(1;4)$ nhưng đó không là nghiệm duy nhất mới khổ! Bác Wolfram chỉ cho ra đúng 1 nghiệm!

 

Dùng phương pháp thế, đưa về PT theo một ẩn x, bác Wolf đưa ra 3 nghiệm $x$.

Có lẽ hệ có 3 nghiệm.

[NTA1907]

Bài 500: $\left\{\begin{matrix} &(x-2y)\left ( 3x+8y+4\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16} \right )=-6 \\ &(y-4x)\left ( 3y+2x+2\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16} \right )=-10 \end{matrix}\right.$

Một cách làm khác cho bài toán này.

 

Với những hệ kiểu gần đối xứng thế này ta thường cộng 2 phương trình lại với nhau để phân tích thành tổng các bình phương.

$(x-2y)(3x+8y)+(y-4x)(3y+2x)-2(2x+3y)\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16}=-16$

$\Leftrightarrow (2x+3y+\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16})^{2}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16}=-(2x+3y)$

Thay vào 2 phương trình ban đầu ta được hệ mới:

$\left\{\begin{matrix} &(x-2y)(5x+4y)=6 \\ &(y-4x)(3y+2x)=10 \end{matrix}\right.$

Đây là hệ đẳng cấp cơ bản. Đến đây xin nhường cho các bạn.

[NTA1907]

Bài 510: $\left\{\begin{matrix} &7\sqrt{16-y^{2}}=(x-1)(x+6) \\ &(x+2)^{2}+2(y-4)^{2}=9 \end{matrix}\right.$

 

P/s: Chậc...các bạn giải bài nhanh quá 

[L Lawliet]

Bài 510: $\left\{\begin{matrix} &7\sqrt{16-y^{2}}=(x-1)(x+6) \\ &(x+2)^{2}+2(y-4)^{2}=9 \end{matrix}\right.$

 

P/s: Chậc...các bạn giải bài nhanh quá 

Lời giải.

Điều kiện xác định: $-4\leq y\leq 4$.

Vì $\text{VT}$ của phương trình thứ nhất không âm nên $\text{VP}$ cũng phải không âm, hay:

$$\left ( x-1 \right )\left ( x+6 \right )\geq 0$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x\geq 1 \\ x\leq -6 \end{array}\right.$$

Mặt khác phương trình thứ hai của hệ tương đương:

$$2\left ( y-4 \right )^{2}=9-\left ( x+2 \right )^{2}$$

Vì $2\left ( y-4 \right )^{2}\geq 0$ nên $9-\left ( x+2 \right )^{2}\geq 0$ hay $-5\leq x\leq 1$.

Vậy ta có:

$$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{array}{ll} x\geq 1 \\ x\leq -6 \end{array}\right. \\ -5\leq x\leq 1 \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow x=1$$

Khi đó hệ trở thành:

$$\left\{\begin{matrix} 7\sqrt{16-y^{2}}=0 \\ 2\left ( y-4 \right )^{2}=0 \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow y=4$$

Vậy hệ có nghiệm $\left ( x;y \right )=\left ( 1;4 \right )$.

 

Chặn vậy ổn chưa nhỉ 

 

Bài 511: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} x-4\sqrt{x-1}+y-\dfrac{2y^{2}+48}{2y^{2}-1}=0 \\ \sqrt{5x+y-5}+\sqrt{1-x+y}=6 \end{matrix}\right.$$

[leminhnghiatt]

Bài 511: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} x-4\sqrt{x-1}+y-\dfrac{2y^{2}+48}{2y^{2}-1}=0 \\ \sqrt{5x+y-5}+\sqrt{1-x+y}=6 \end{matrix}\right.$$

ĐK: $x \geq 1$

 

Từ pt(2) $\iff 6=\dfrac{5\sqrt{5x+y-5}}{5}+\sqrt{1-x+y} \leq \dfrac{5x+y+20}{10}+\dfrac{2-x+y}{2}=\dfrac{6y+30}{10} \rightarrow y \geq 5$

 

$\rightarrow 2y^2-1 >0$

 

Ta có: 

 

$(1) \iff x-4\sqrt{x-1}+y-\dfrac{2y^2+48}{2y^2-1}=0$

 

$\iff (\sqrt{x-1}-2)^2+\dfrac{(y-3)(2y^2-1)-2y^2-48}{2y^2-1}=0$

 

$\iff (\sqrt{x-1}-2)^2+\dfrac{(y-5)(2y^2+2y+9)}{2y^2-1}=0$

 

Mà $y \geq 5$ nên dấu đẳng thức xảy ra khi: $\sqrt{x-1}-2=y-5=0 \rightarrow x=y=5$

 

Vậy nghiệm hệ $(x;y)=(5;5)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 04-09-2016 - 11:15

[L Lawliet]

ĐK: $x \geq 1$

 

Từ pt(2) $\iff 6=\dfrac{5\sqrt{5x+y-5}}{5}+\sqrt{1-x+y} \leq \dfrac{5x+y+20}{10}+\dfrac{2-x+y}{2}=\dfrac{6y+30}{20} \rightarrow y \geq 5$

$$\dfrac{6y+30}{20}\geq 6$$

$$\Leftrightarrow y\geq 15$$

Bạn nhầm đoạn này rồi, phải là $\dfrac{6y+30}{10}$

 

Bài 512: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \left ( x^{2}-1 \right )^{2}+3=\dfrac{6x^{5}y}{x^{2}+2} \\ 3y-x=\sqrt{\dfrac{4x-3x^{2}y-9xy^{2}}{x+3y}} \end{matrix}\right.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 04-09-2016 - 11:16

[leminhnghiatt]

Bài 512: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \left ( x^{2}-1 \right )^{2}+3=\dfrac{6x^{5}y}{x^{2}+2} \\ 3y-x=\sqrt{\dfrac{4x-3x^{2}y-9xy^{2}}{x+3y}} \end{matrix}\right.$$

 

$(2) \iff (3y-x)^2(x+3y)=4x-3x^2y-9xy^2$

 

$\iff x^3-4x+27y^3=0$

 

$(1) \iff x^4-2x^2+4=\dfrac{6x^5y}{x^2+2} \iff (x^4-2x^2+4)(x^2+2)-6x^5y=0$

 

$\iff x^6+8-6x^5y=0$

 

Đến đây ta có hệ đơn giản hơn là:

 

$\left\{\begin{matrix} x^3-4x+27y^3=0 \\ x^6+8-6x^5y=0 \end{matrix}\right.$

 

Dễ thấy $x=y=0$ không là nghiệm của pt

 

Với $x,y \not =0 \rightarrow \left\{\begin{matrix} 1-\dfrac{4}{x^2}+(\dfrac{3y}{x})^3=0 \\ 1+(\dfrac{2}{x^2})^3-\dfrac{6y}{x} \end{matrix}\right.$

 

Đặt $\dfrac{2}{x^2}=a;\dfrac{3y}{x}=b$ thay vào ta có hệ:

 

$\iff \left\{\begin{matrix} 1-2a+b^3=0 \\ 1+a^3-2b=0 \end{matrix}\right.$

 

$\iff b^3+2b=a^3+2a$

 

$\iff b=a$

 

Thế vào 1 trong 2 pt trên $\rightarrow a=b=1$   v    $a=b=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$

 

Đến đây ta thay vào sẽ tìm được $x,y$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 04-09-2016 - 11:52

[leminhnghiatt]

Bài 513: Giải hệ:

$$\left\{\begin{matrix} x^3-3x^2-3y^2+3x+4y-1=0 \\ y^3-3xy-x+12y-7=0 \end{matrix}\right.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 04-09-2016 - 21:37

[NTA1907]

Bài 514: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{2x-1}-y(1+2\sqrt{2x-1})=-8 \\ &y^{2}+y\sqrt{2y-1-4x}-2x+y=13 \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 04-09-2016 - 12:05

[L Lawliet]

Đăng một bài nữa rồi ăn cơm

Bài 515: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}=\dfrac{35}{12} \\ \dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}-\dfrac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}=\dfrac{7}{12} \end{matrix}\right.$$

Nói qua về bài này, hiện tại mình biết có $3$ cách giải cho bài này trong đó có một lời giải là ngắn gọn nhất còn hai cách khác thì hơi cồng kềnh một chút nhưng mà có một ý tưởng nữa được đăng bên boxmath là dùng lượng giác nhưng chưa hoàn thiện. Do đó mình đăng vào topic này và muốn xem còn cách giải nào khác nữa không (không biết trong topic có chưa, nếu có mình sẽ sửa bài khác).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 04-09-2016 - 12:10

[NTA1907]

Đăng một bài nữa rồi ăn cơm

Bài 515: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}=\dfrac{35}{12} \\ \dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}-\dfrac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}=\dfrac{7}{12} \end{matrix}\right.$$

Điều kiện: $-1< x< 1, -1< y< 1$

Cộng 2 phương trình vế theo vế ta được:

$\frac{1+x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{1-y}{\sqrt{1-y^{2}}}=\frac{7}{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+\sqrt{\frac{1-y}{1+y}} =\frac{7}{2}(*)$

Trừ 2 phương trình vế theo vế ta được:

$\frac{1-x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{1+y}{\sqrt{1-y^{2}}}=\frac{7}{3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\frac{1+y}{1-y}}=\frac{7}{3}(**)$

Kết hợp (*) và (**) ta có hệ mới: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+\sqrt{\frac{1-y}{1+y}} =\frac{7}{2} \\ &\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\frac{1+y}{1-y}}=\frac{7}{3} \end{matrix}\right.$

Đặt $\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=a, \sqrt{\frac{1-y}{1+y}}=b(a,b>0)$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} &a+b=\frac{7}{2} \\ &\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{7}{3} \end{matrix}\right.$

Đây là một hệ cơ bản. Giải hệ này ta tìm được $a,b$. Từ đó tìm được $x,y$

[The flower]

Bài 514: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{2x-1}-y(1+2\sqrt{2x-1})=-8 \\ &y^{2}+y\sqrt{2y-1-4x}-2x+y=13 \end{matrix}\right.$

ĐKXĐ:x$\geq \frac{1}{2}$,y$\geq \frac{3}{2}$

Đặt a=$\sqrt{2y-1-4x}$,pt trở thành y²+ya+$\frac{a^{2}+1}{2}$=13

[An Infinitesimal]

Điều kiện: $-1< x< 1, -1< y< 1$

Cộng 2 phương trình vế theo vế ta được:

$\frac{1+x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{1-y}{\sqrt{1-y^{2}}}=\frac{7}{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+\sqrt{\frac{1-y}{1+y}} =\frac{7}{2}(*)$

Trừ 2 phương trình vế theo vế ta được:

$\frac{1-x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{1+y}{\sqrt{1-y^{2}}}=\frac{7}{3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\frac{1+y}{1-y}}=\frac{7}{3}(**)$

Kết hợp (*) và (**) ta có hệ mới: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+\sqrt{\frac{1-y}{1+y}} =\frac{7}{2} \\ &\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\frac{1+y}{1-y}}=\frac{7}{3} \end{matrix}\right.$

Đặt $\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=a, \sqrt{\frac{1-y}{1+y}}=b(a,b>0)$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} &a+b=\frac{7}{2} \\ &\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{7}{3} \end{matrix}\right.$

Đây là một hệ cơ bản. Giải hệ này ta tìm được $a,b$. Từ đó tìm được $x,y$

Lời giải rất đẹp!

 

Kết hợp ý tưởng trên và lời L Lawliet về PP lượng giác hóa, mình có suy nghĩ lời giải lượng giác chưa dùng các mẹo, dùng các đẳng thức sau

\[\frac{1}{\sin{t}}-\cot{t}= \tan \frac{t}{2},\] 

\[\frac{1}{\sin{t}}+\cot{t}= \cot \frac{t}{2}.\]

(Ý này diễn đạt lại cho phiên bản đại số của NTA1907.)

[L Lawliet]

Bài 515: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}=\dfrac{35}{12} \\ \dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}-\dfrac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}=\dfrac{7}{12} \end{matrix}\right.$$

Để ý rằng nếu đặt $\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}=a$ và $\dfrac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}=b$ thì ta có:

$$\left\{\begin{matrix} a^{2}+1=\dfrac{x^{2}}{1-x^{2}}+1=\dfrac{1}{1-x^{2}} \\ b^{2}+1=\dfrac{y^{2}}{1-y^{2}}+1=\dfrac{1}{1-y^{2}} \end{matrix}\right.$$

$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sqrt{a^{2}+1} \\ \dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}=\sqrt{b^{2}+1} \end{matrix}\right.$$

Do đó hệ đã cho trở thành:

$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}=\dfrac{35}{12} \\ a-b=\dfrac{7}{12} \end{matrix}\right.$$

Đến đây vẫn chưa xử lí được... và đây là ý tưởng khi thấy thành phần của từng phương trình của hệ có hơi "đặc biệt" như vậy nhưng không biết có đi đến đâu nữa không...

 

Cách này của anh trantruongsinh_dienbien:

Đặt $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=a>1$, $\dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}=a>1$, $\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}=c$, $\dfrac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}=d$ khi đó ta có hệ:

$$\left\{\begin{matrix} a+b=\dfrac{35}{12} \\ c-d=\dfrac{7}{12} \\ a^{2}-c^{2}=1 \\ b^{2}-d^{2}=1 \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( a+c \right )+\left ( b-d \right )=\dfrac{7}{2} \\ \left ( a-c \right )+\left ( b+d \right )=\dfrac{7}{3} \\ \left ( a-c \right )\left ( a+c \right )=1 \\ \left ( b-d \right )\left ( b+d \right )=1 \end{matrix}\right.$$

Đặt $a+c=m$, $b+d=n$, $a-c=p$, $b-d=q$ thì hệ trở thành:

$$\left\{\begin{matrix} m+q=\dfrac{7}{2} \\ p+n=\dfrac{7}{3} \\ p=\dfrac{1}{m} \\ q=\dfrac{1}{n} \end{matrix}\right.$$

$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m+\dfrac{1}{n}=\dfrac{7}{2} \\ \dfrac{1}{m}+n=\dfrac{7}{3} \end{matrix}\right.$$

$$\Rightarrow 2m^{2}-7m+3=0$$

 

Ngoài lề một xí là topic mình tổng hợp cũng được kha khá rồi nhưng nhìn chung thì hơi sơ sài do chỉ có bài tập và lời giải, mọi người góp ý xem nên làm gì để file phong phú hơn nữa được không :<

[An Infinitesimal]

 

Để ý rằng nếu đặt $\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}=a$ và $\dfrac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}=b$ thì ta có:

$$\left\{\begin{matrix} a^{2}+1=\dfrac{x^{2}}{1-x^{2}}+1=\dfrac{1}{1-x^{2}} \\ b^{2}+1=\dfrac{y^{2}}{1-y^{2}}+1=\dfrac{1}{1-y^{2}} \end{matrix}\right.$$

$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sqrt{a^{2}+1} \\ \dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}=\sqrt{b^{2}+1} \end{matrix}\right.$$

Do đó hệ đã cho trở thành:

$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}=\dfrac{35}{12} \\ a-b=\dfrac{7}{12} \end{matrix}\right.$$

Đến đây vẫn chưa xử lí được... và đây là ý tưởng khi thấy thành phần của từng phương trình của hệ có hơi "đặc biệt" như vậy nhưng không biết có đi đến đâu nữa không...

 

 

Ngoài lề một xí là topic mình tổng hợp cũng được kha khá rồi nhưng nhìn chung thì hơi sơ sài do chỉ có bài tập và lời giải, mọi người góp ý xem nên làm gì để file phong phú hơn nữa được không :<

 

 

Giải tiếp thì được nhưng không mang đến lời giải đẹp. Nói theo một cách nào đó, hệ này là hệ đối xứng loại I theo hai ẩn $a, -b$. 

Nhiệm vụ: biểu diễn hệ theo hai ẩn đối xứng $S=a-b, P=-ab$, với điều kiện $S^2\ge 4P.$

Bình phương PT thứ nhất, ta có 

\[(a^2+b^2+2)+2\sqrt{a^2b^2+a^2+b^2+1}= \left( \frac{35}{2}\right)^2.\]

Dùng thông tin $S=\frac{7}{12}$, ta có PT theo $P$ như sau

(vẫn ghi theo ẩn $S$  nhằm giảm sự cồng kềnh của PT)

\[S^2+2+2P+2\sqrt{P^2+2P+S^2+1}=\left( \frac{35}{2}\right)^2.\]

Suy ra

\[4(P^2+2P+S^2+1)=\left[\left( \frac{35}{2}\right)^2-\left(S^2+2+2P\right)\right]^2.\]

Đây là PT bậc nhất theo ẩn $S$!

 

----------------------------------------------------------------

Để thêm phong phú, mọi người có thể rà soát lại những bài cũ rồi tiếp tục thảo luận, đặt câu hỏi hoặc gợi mở những ý mới liên quan.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 04-09-2016 - 19:19