Chủ đề này có 1255 trả lời

[NTA1907]

 

Bài 529: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} y^{6}+y^{3}+2x^{2}=\sqrt{xy-x^{2}y^{2}} \\ 8xy^{3}+2y^{3}+\dfrac{1}{2}=4x^{4}+3x^{2}+x+2\sqrt{1+\left ( 2x-y \right )^{2}} \end{matrix}\right.$$

----

Từ hai bài toán trên có thể thấy được một hướng chế đề từ các tổng bình phương khá hay

 

Em thấy đề phương trình 2 phải là $8xy^{3}+2y^{3}+\dfrac{1}{2}=4x^{4}+3x^{2}+x+2\sqrt{1+\left ( 2x-y \right )^{2}}$ mới phân tích được thành tổng bình phương.

 

Điều kiện: $0\leq xy\leq 1$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$y^{6}+y^{3}+2x^{2}=\sqrt{xy(1-xy)}\leq \frac{xy+1-xy}{2}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 1\geq 2y^{6}+2y^{3}+4x^{2}(*)$

Ta có: $8xy^{3}+2y^{3}+\frac{1}{2}\geq 4x^{4}+3x^{2}+x+2(**)$

Cộng 2 bất đẳng thức (*) và (**) ta được:

$8xy^{3}+2y^{3}+\frac{3}{2}\geq 2y^{6}+2y^{3}+4x^{2}+4x^{4}+3x^{2}+x+2$

$\Leftrightarrow 2y^{6}-8xy^{3}+4x^{4}+7x^{2}+x+\frac{1}{2}\leq 0$

$\Leftrightarrow 2(y^{3}-2x)^{2}+(2x^{2}-\frac{1}{2})^{2}+(x+\frac{1}{2})^{2}\leq 0$

$\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}$ và $y=-1$

Vậy hệ đã cho có nghiệm $(x,y)=\left ( \frac{-1}{2};-1 \right )$

 

Bài 530: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x+3}=y^{3}-6 & \\ &\sqrt{y+2}=z^{3}-25 & \\ &\sqrt{z+1}=x^{3}+1 & \end{matrix}\right.$

Bài 531: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{4}y^{4}-(x^{2}+y^{2})+1}=1-xy \\ &\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}=\sqrt{2} \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 18-09-2016 - 10:26

[Baoriven]

Với bài 528, mình xin đóng góp một lời giải khác.

Ta viết lại hệ: $\left\{\begin{matrix}y^6+y^3+\frac{x^2}{2}=\sqrt{\frac{xy}{2}-\frac{x^2y^2}{4}} \\2xy^3+y^3+\frac{1}{2}-\frac{x^2}{2}=\sqrt{x^2-2xy+1+y^2} \end{matrix}\right.$

Trừ theo vế hai pt ta được:

$(y^3-x)^2+\sqrt{(x-y)^2+1}-\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{xy}{2}-\frac{x^2y^2}{4}}$

Ta có: $\sqrt{\frac{xy}{2}-\frac{x^2y^2}{4}}\geq 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

           $\Leftrightarrow (xy-1)^2\leq 0$.

Suy ra: $xy=1$ và $y^3=x=y$.

Từ đó ta được: $x=y=-1$.

[tritanngo99]

Bài 532: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^4+y^3+x^2+y=12\\\sqrt{x^4+3x^3}+\sqrt{y^3+2y^2}=2(x+y)  \end{matrix}\right.$

[Baoriven]

Lời giải bài 531:

Từ phương trình đầu, ta có: $1-xy=\sqrt{(xy)^4-(x^2+y^2)+1}\leq \sqrt{(xy)^4-2xy+1}$.

Bình phương hai vế, ta được: $xy\in (-\infty ;-1]\cup [1;+\infty)$. $(*)$

Từ phương trình hai, ta có điều kiện $-1\leq x,y\leq 1$.

Do đó: $-1\leq xy\leq 1$. $(**)$.

Từ $(*),(**)$, ta được: $xy=\pm 1$.

Dấu bằng xảy ra ở $(*)$ khi $x=y$.

Suy ra $x=y=\pm 1$.

 

P/S: Không biết đề đúng không ? NTA1907.

[NTA1907]

Lời giải bài 531:

Từ phương trình đầu, ta có: $1-xy=\sqrt{(xy)^4-(x^2+y^2)+1}\leq \sqrt{(xy)^4-2xy+1}$.

Bình phương hai vế, ta được: $xy\in (-\infty ;-1]\cup [1;+\infty)$. $(*)$

Từ phương trình hai, ta có điều kiện $-1\leq x,y\leq 1$.

Do đó: $-1\leq xy\leq 1$. $(**)$.

Từ $(*),(**)$, ta được: $xy=\pm 1$.

Dấu bằng xảy ra ở $(*)$ khi $x=y$.

Suy ra $x=y=\pm 1$.

 

P/S: Không biết đề đúng không ? NTA1907.

Đã sửa...Bài này có nghiệm $(x,y)=(0;0)$

[An Infinitesimal]

 

Bài 531: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{4}y^{4}-(x^{2}+y^{2})+1}=1-xy \\ &\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}=2 \end{matrix}\right.$

Bài này đã sửa đề rồi? 

Từ PT thứ 2, ta thu được $x=y=0$ (!!!???)

[Baoriven]

Bài 530: Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x+3}=y^{3}-6 & \\ &\sqrt{y+2}=z^{3}-25 & \\ &\sqrt{z+1}=x^{3}+1 & \end{matrix}\right.$

Lời giải bài 530: 

Phương trình tương đương:

$\left\{\begin{matrix}&(x-1)=(y-2)(y^2+2y+4)(\sqrt{x+3}+2) &\\& (y-2)=(z-3)(z^2+3z+9)(\sqrt{y+2}+2)&\\&(z-3)=(x-1)(x^2+x+1)(\sqrt{z+1}+1)&\end{matrix}\right.$

Nếu $x=1$ thì $y=2$ và $z=3$ và ngược lại.

Nếu $x\neq 1$ thì $y\neq 2$ và $z\neq 3$. 

Do đó: $(y^2+2y+4)(\sqrt{x+3}+2)(z^2+3z+9)(\sqrt{y+2}+2)(x^2+x+1)(\sqrt{z+1}+1)=1$

Mà $VT> \frac{81}{2}> 1$.

 

P/S: Bài 531 của NTA1907 hình như sửa lại vẫn sai vậy.

[tritanngo99]

Bài 533: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}=\frac{y^3-1}{y+1}\\\sqrt{y+1}=\sqrt{\frac{3-x}{xy+3}}  \end{matrix}\right.$

[NTA1907]

Bài này đã sửa đề rồi? 

Từ PT thứ 2, ta thu được $x=y=0$ (!!!???)

 

P/S: Bài 531 của NTA1907 hình như sửa lại vẫn sai vậy.

Chắc đề ban đầu đúng 

[An Infinitesimal]

Bài 533: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}=\frac{y^3-1}{y+1}\\\sqrt{y+1}=\sqrt{\frac{3-x}{xy+3}}  \end{matrix}\right.$

"ĐK": $x\ge -1, y\ge 1.$

Với ĐK, PT2 $\iff y+1=\frac{3-x}{xy+3}$

$\iff xy^2+(3+x)y+x=0$

$\iff x+1= \frac{(y-1)^2}{y^2+y+1}.$

 

Thay vào phương trình thứ nhất, ta có 

(Sai và đã sửa như bên dưới)

$$y+1= \sqrt{\left(y^2+y+1 \right)^3}.$$

 

Đúng:

 

$\frac{y-1}{\sqrt{y^2+y+1}}= \frac{(y-1)(y^2+y+1)}{y+1}.$

$\iff y=1 \vee y+1= \sqrt{\left(y^2+y+1 \right)^3}.$

Vì $VP \ge \sqrt{3} \left( y^2+y+1\right)>y+1=VT \quad\forall y\ge 1$

nên $y=1$.

Từ đó ta có $(x,y)=(-1, 1)$ là nghiệm duy nhất của hệ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 18-09-2016 - 11:35

[tritanngo99]

"ĐK": $x\ge -1, y\ge 1.$

Với ĐK, PT2 $\iff y+1=\frac{3-x}{xy+3}$

$\iff xy^2+(3+x)y+x=0$

$\iff x+1= \frac{(y-1)^2}{y^2+y+1}.$

 

Thay vào phương trình thứ nhất, ta có 

$$y+1= \sqrt{\left(y^2+y+1 \right)^3}.$$

Vì $VP \ge \sqrt{3} \left( y^2+y+1\right)>y+1=VT \quad\forall y\ge 1$

nên hệ vô nghiệm.

Anh xem lại thử, bài này có nghiệm: $(x;y)=(-1;1)$

[An Infinitesimal]

Anh xem lại thử, bài này có nghiệm: $(x;y)=(-1;1)$

Đúng rồi! Quá nhanh nên vội vàng loại đi nhân tử $(y-1)$ (nhân tử có thể bằng 0).

A sửa lại trong vài giây tới!

[NTA1907]

Bài 534: $\left\{\begin{matrix} &12x+\dfrac{108}{y}-6=\sqrt{4xy+33}-\sqrt{2y-3} \\ &8\sqrt{xy-2y}-8y+4=(x-y)^{2} \end{matrix}\right.$

[Baoriven]

Thảo luận hướng đi bài 534: 

Điều kiện: $y\geq \frac{3}{2};x\geq 2$.

Hệ phương trình viết lại: $\left\{\begin{matrix}(\sqrt{4xy+33}-\sqrt{2y-3})(\frac{3(\sqrt{4xy+33}+\sqrt{2y-3})}{y}-1)=0 \\ (x-y-2)(\frac{8y}{\sqrt{xy-2y}+y}+y-x-2)=0 \end{matrix}\right.$

 

 

P/S: Cho hỏi NTA1907. Bài này có nghiệm ko ? Để mình biết hướng đi của bài. 

Vì nếu hai cái loằng ngoằng kia vô nghiệm thì ta được hệ: $\left\{\begin{matrix}4xy+33=2y-3 \\ x-y-2=0 \end{matrix}\right.(VN)$

Hệ này cũng vô nghiệm. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 18-09-2016 - 16:20

[L Lawliet]

Bài 533: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}=\frac{y^3-1}{y+1}\\\sqrt{y+1}=\sqrt{\frac{3-x}{xy+3}}  \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Từ phương trình thứ hai của hệ ta được $y\geq -1$.

Ta thấy $\text{VT}$ của phương trình thứ nhất không âm nên để hệ có nghiệm thì ít nhất $\text{VP}$ cũng phải không âm.

Do đó ta được $y\geq 1$.

Điều kiện xác định: $\left\{\begin{matrix} x\geq -1 \\ y\geq 1 \\ \dfrac{3-x}{xy+3}\geq 0 \end{matrix}\right.$.

Ta có:

$$\sqrt{y+1}=\sqrt{\dfrac{3-x}{xy+3}}$$

$$\Leftrightarrow y+1=\dfrac{3-x}{xy+3}$$

$$\Leftrightarrow \left ( xy+3 \right )\left ( y+1 \right )=3-x$$

$$\Leftrightarrow \left ( y^{2}+y+1 \right )x=-3y$$

$$\Leftrightarrow x=\dfrac{-3y}{y^{2}+y+1}$$

Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

$$\sqrt{\dfrac{-3y}{y^{2}+y+1}+1}=\dfrac{y^{3}-1}{y+1}$$

$$\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{\left ( y-1 \right )^{2}}{y^{2}+y+1}}=\dfrac{y^{3}-1}{y+1}$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{y-1}{\sqrt{y^{2}+y+1}}=\dfrac{\left ( y-1 \right )\left ( y^{2}+y+1 \right )}{y+1}$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} y-1=0 \\ \left ( y^{2}+y+1 \right )\sqrt{y^{2}+y+1}=y+1 \end{array}\right.$$

Với $y=1$ ta được $x=-1$, đối chiếu điều kiện xác định ta thấy thỏa mãn.

Với $\left ( y^{2}+y+1 \right )\sqrt{y^{2}+y+1}=y+1$ với $y\geq 1$ nên hai vế không âm, bình phương hai vế ta được:

$$\left ( y^{2}+y+1 \right )^{3}=\left ( y+1 \right )$$

$$\Leftrightarrow y^{6}+3y^{5}+6y^{4}+7y^{3}+5y^{2}+y=0$$

Vì $y\geq 1$ nên phương trình trên vô nghiệm.

Vậy hệ đã cho có nghiệm $\left ( x;y \right )=\left ( -1;1 \right )$.

----

Không để ý kĩ rằng bài này đã được giải ở bên trên... Đăng một bài khác bù vậy...

Bài 536: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \left ( x+y+\sqrt{x-y} \right )\left ( x-y+\sqrt{x-y} \right )=4y+4 \\ \dfrac{2}{\sqrt{4x+y}}+\dfrac{2}{\sqrt{x+2y}}=\dfrac{3x-y}{x^{2}-xy+y^{2}} \end{matrix}\right.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 19-09-2016 - 15:53

[thang1308]

Bài 535:

$\left\{\begin{matrix} (2x^2-1)(2y^2-1)=\frac{7xy}{2} & \\ x^2+y^2+xy-7x-6y+14=0& \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thang1308: 18-09-2016 - 20:40

[L Lawliet]

Bài 535:

$\left\{\begin{matrix} (2x^2-1)(2y^2-1)=\frac{7xy}{2} & \\ x^2+y^2+xy-7x-6y+14=0& \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng phương trình bậc hai ẩn $x$, tham số $y$:

$$x^{2}+\left ( y-7 \right )x+y^{2}-6y+14=0$$

Xét $\Delta _{x}$:

$$\Delta =\left ( y-7 \right )^{2}-4\left ( y^{2}-6y+14 \right )=-3y^{2}+10y-7$$

Để hệ có nghiệm thì ít nhất $\Delta _{x}\geq 0$ hay:

$$-3y^{2}+10y-7\geq 0\Leftrightarrow 1\leq y\leq \dfrac{7}{3}$$

Tương tự, viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng phương trình bậc hai ẩn $y$, tham số $x$ và lập luận tương tự ta được $2\leq x\leq \dfrac{10}{3}$.

Xét $x=y=0$ không phải là nghiệm của hệ do đó chia hai vế của phương trình thứ hai của hệ cho $xy\neq 0$ ta được:

$$\left ( 2x-\dfrac{1}{x} \right )\left ( 2y-\dfrac{1}{y} \right )=\dfrac{7}{2}$$

Ta có:

$$2x-\dfrac{1}{x}\geq 2.2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}$$

$$2y-\dfrac{1}{y}\geq 2.1-\dfrac{1}{1}=1$$

$$\Rightarrow \left ( 2x-\dfrac{1}{x} \right )\left ( 2y-\dfrac{1}{y} \right )\geq \dfrac{7}{2}$$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=2$, $y=1$.

Thử lại không thỏa mãn, vậy hệ đã cho vô nghiệm.

[thang1308]

Bài 537. Giải phương trình:

 $$a(b^2+c)=c(c+ab)$$ $$b(c^2+a)=a(a+bc)$$ $$c(a^2+b)=b(b+ca).$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 20-09-2016 - 15:35

[NTA1907]

Thảo luận hướng đi bài 534: 

Điều kiện: $y\geq \frac{3}{2};x\geq 2$.

Hệ phương trình viết lại: $\left\{\begin{matrix}(\sqrt{4xy+33}-\sqrt{2y-3})(\frac{3(\sqrt{4xy+33}+\sqrt{2y-3})}{y}-1)=0 \\ (x-y-2)(\frac{8y}{\sqrt{xy-2y}+y}+y-x-2)=0 \end{matrix}\right.$

 

 

P/S: Cho hỏi NTA1907. Bài này có nghiệm ko ? Để mình biết hướng đi của bài. 

Vì nếu hai cái loằng ngoằng kia vô nghiệm thì ta được hệ: $\left\{\begin{matrix}4xy+33=2y-3 \\ x-y-2=0 \end{matrix}\right.(VN)$

Hệ này cũng vô nghiệm. 

Bài này vô nghiệm   

 

P/s: Hình như mọi người đánh sai STT bài rồi 

Bài 538: $\left\{\begin{matrix} &y^{7}+1=(x+1)(x^{2}+1)(x^{4}+1) \\ &x^{7}+1=(y+1)(y^{2}+1)(y^{4}+1) \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 20-09-2016 - 14:12

[Baoriven]

Lời giải bài 538:

$1)$ $xy=0$: Ta có : $(x;y)=(0;0)$ là nghiệm của hệ.

$2)$ $xy<0$. Do đó hệ đối xứng nên giả sử $x> 0> y$. Khi đó ta có:

        $(1+x)(1+x^2)(1+x^4)> 1$ và $1+y^7<1$. Vậy hệ vô nghiệm với điều kiện này.

$3)$ $x> 0, y> 0$ và $x\neq y$. Do hệ đối xứng nên giả sử $x> y> 0$.

Khi đó: $(1+x)(1+x^2)(1+x^4)> (1+x^7)> (1+y^7)$. Nên hệ vô nghiệm với điều kiện này.

$4)$ $x< 0,y< 0$ và $x\neq y$: Giả sử $x< y< 0$. Khi đó nhân phương trình đầu với $1-x$ phương trình hai với $1-y$, ta có:

$\left\{\begin{matrix}1-x^8=1-x+y^7-xy^7(1) \\ 1-y^8=1-y+x^7-yx^7(2) \end{matrix}\right.$.

Lấy $(2)-(1)$ ta được: $x^8-y^8=x-y+x^7-y^7-xy(x^6-y^6)$.

Vì $x< y< 0$ nên $VT> 0> VP$.

$5)$ $x=y$. Suy ra $x=0;x=\pm 1$.

Loại $(x;y)=(1;1)$.

Vậy hệ có nghiệm :$(x;y)=(0;0);(-1;-1)$,