Một bài tập khá hay mà chắc là mọi người đã biết đến!
Bài 122: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt[3]{x+8}=\sqrt{y+8}\\ \sqrt{y}+\sqrt[3]{y+8}=\sqrt{x+8} \end{matrix}\right.$
Một bài tập khá hay mà chắc là mọi người đã biết đến!
Bài 122: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt[3]{x+8}=\sqrt{y+8}\\ \sqrt{y}+\sqrt[3]{y+8}=\sqrt{x+8} \end{matrix}\right.$
Bài 95: $\sqrt{x+5+\frac{12}{x-1}}=\frac{2(x+2)^{2}+11}{5x-3}$
ĐK: $x>1; x\neq \frac{3}{5}$
Pt trên tương đương: $\sqrt{\frac{(x+2)^{2}+3}{(x+2)-3}}=\frac{2(x+2)^{2}+11}{5(x+2)-13}$
$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{t^{2}+3}{t-3}}=\frac{2t^{2}+11}{5t-13}$
$\Leftrightarrow \frac{5(t-3)+2}{\sqrt{t-3}}=\frac{2(t^{2}+3)+5}{\sqrt{t^{2}+3}}$
$\Leftrightarrow 5\sqrt{t-3}+\frac{2}{\sqrt{t-3}}=2\sqrt{t^{2}+3}+\frac{5}{\sqrt{t^{2}+3}}$
$\Leftrightarrow 25(t-3)+\frac{4}{t-3}=4(t^{2}+3)+\frac{25}{t^{2}+3}$
$\Leftrightarrow (4t^{2}-25t+87)(\frac{1}{(t-3)(t^{2}+3)}-1)=0$
$\Leftrightarrow t^{3}-3t^{2}+3t-10=0$
$\Leftrightarrow t=\sqrt[3]{9}+1$
$\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{9}-1$
Có gì sai mong chỉ giáo
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IDT: 25-01-2016 - 22:03
Bài 117 : Giải pt (sưu tầm)
$PT: \dfrac{6}{x+4}=\dfrac{1}{\sqrt{2+x}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\sqrt{2+x}-2}}\Leftrightarrow \dfrac{6}{a^{2}+2}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{3a-2}}$ với $a=\sqrt{2+x}$
$\Leftrightarrow \dfrac{6}{a^{2}+2}-1=\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{3a-2}}-\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow (2-a)\left ( \dfrac{1}{2a}+\dfrac{3}{2\sqrt{3a-2}(\sqrt{3a-2}+2)} -\dfrac{1}{a^{2}+2}\right )=0$
Dễ thấy $a=2\Leftrightarrow x=2$
Còn cái trong ngoặc đánh giá như sau:
$\dfrac{1}{a^{2}+2}< \dfrac{1}{a^{2}+1}\leq \frac{1}{2a}(a>0)$
Vậy phần trong ngoặc dương...
Mabel Pines - Gravity Falls
Một bài tập khá hay mà chắc là mọi người đã biết đến!
Bài 122: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt[3]{x+8}=\sqrt{y+8}\\ \sqrt{y}+\sqrt[3]{y+8}=\sqrt{x+8} \end{matrix}\right.$
Cộng chéo 2 PT ta được:
$\sqrt{x}+\sqrt[3]{x+8}+\sqrt{x+8} =\sqrt{y}+\sqrt[3]{y+8}+\sqrt{y+8}$
Tới đây dùng đạo hàm hoặc CM hàm đồng biến ta được $x=y$
.......................
Mabel Pines - Gravity Falls
Bài 124 : Giải hệ pt
$\begin{cases} & 2.\sqrt{x^2+3x-y}=\sqrt{y^2+4x}+x+1 \\ y^2-3x-3+\sqrt{x+y}=\sqrt{x-4} & \end{cases}$
Bài 72: $x^{2}-9=(8x^{3}-28x^{2}+34x-11)(\sqrt{x+1}-2)$
ĐK: $x \geq -1$
PT $\iff (x-3)(x+3)=(8x^3-28x^2+34x-11)\dfrac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}$
$\iff x=3$ v $ x+3=\dfrac{8x^3-28x^2+34x-11}{\sqrt{x+1}+2} \ (1)$
Xét (1): $(x+3)(\sqrt{x+1}+2)=8x^3-28x^2+34x-11$
$\iff (x+1+2)(\sqrt{x+1}+2)=8x^3-28x^2+34x-11$
$\iff (x+1)\sqrt{x+1}+2(x+1)+2\sqrt{x+1}=8x^3-28x^2+34x-15$
$\iff \sqrt{x+1}^3+2\sqrt{x+1}^2+2\sqrt{x+1}=(2x-3)^3+2(2x-3)^2+2(2x-3)$
$\iff \sqrt{x+1}=2x-3$
$\Longrightarrow 4x^2-13x+8=0$ (ĐK: $x \geq \dfrac{3}{2}$)
$\Longrightarrow x=\dfrac{13+\sqrt{41}}{8}$
...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 26-01-2016 - 12:01
Don't care
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 26-01-2016 - 12:30
Bài 125 : Giải hệ pt
$\begin{cases} & x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{4}{y^2}=7 \\ (xy-1)^2=2x^2-y^2+3 & \end{cases}$
Xét PT (1):
Theo BĐT Cô-si ta có:
$x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}\geq 2$
$y^{2}+\dfrac{4}{y^{2}}=y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}\geq 5$
Vậy: $x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{4}{y^2}\geq 7$
Dấu '=' khi $x=y=1$
Thế vào PT (2) thấy không thỏa
Vậy hệ đã cho vô nghiệm
Mabel Pines - Gravity Falls
Xét PT (1):
Theo BĐT Cô-si ta có:
$x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}\geq 2$
$y^{2}+\dfrac{4}{y^{2}}=y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}\geq 5$
Vậy: $x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{4}{y^2}\geq 7$
Dấu '=' khi $x=y=1$
Thế vào PT (2) thấy không thỏa
Vậy hệ đã cho vô nghiệm
Sai rồi kìa anh, cái này phải là $y^{2}+\dfrac{4}{y^{2}}=y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}\geq 5\sqrt[5]{\frac{y^2}{y^2.y^2.y^2.y^2}}$ chứ
Cộng chéo 2 PT ta được:
$\sqrt{x}+\sqrt[3]{x+8}+\sqrt{x+8} =\sqrt{y}+\sqrt[3]{y+8}+\sqrt{y+8}$
Tới đây dùng đạo hàm hoặc CM hàm đồng biến ta được $x=y$
.......................
Một bài tập khá hay mà chắc là mọi người đã biết đến!
Bài 122: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt[3]{x+8}=\sqrt{y+8}\\ \sqrt{y}+\sqrt[3]{y+8}=\sqrt{x+8} \end{matrix}\right.$
Bài này còn có một cách khá hay như sau:
Giả sử $x>y$ ta suy ra $\sqrt{x}+\sqrt[3]{x+8} > \sqrt{y}+\sqrt[3]{y+8}$ hay $\sqrt{y+8} > \sqrt{x+8} \rightarrow y>x$ vô lí
Tương tự ta suy ra $x=y$
Xét PT (1):
Theo BĐT Cô-si ta có:
$x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}\geq 2$
$y^{2}+\dfrac{4}{y^{2}}=y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}\geq 5$
Vậy: $x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{4}{y^2}\geq 7$
Dấu '=' khi $x=y=1$
Thế vào PT (2) thấy không thỏa
Vậy hệ đã cho vô nghiệm
Chỗ này Cô-si hay làm sao mà nó lại thế ạ?
Bài 126 : Giải phương tình
$\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}=x^2-8x+18$
Bài 126 : Giải phương tình
$\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}=x^2-8x+18$
ĐK: $3 \leq x \leq 5$
Theo bđt Bu- nhi-a: $1.\sqrt{x-3}+1\sqrt{5-x} \leq \sqrt{(1^2+1^2)(x-3+5-x)}=\sqrt{2.2}=2$
Mặt khác: $x^2-8x+18=(x-4)^2+2 \geq 2$
Dấu đẳng thức có khi:$x=4$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dunghoiten: 26-01-2016 - 20:55
Sai rồi kìa anh, cái này phải là $y^{2}+\dfrac{4}{y^{2}}=y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}\geq 5\sqrt[5]{\frac{y^2}{y^2.y^2.y^2.y^2}}$ chứ
Chỗ này Cô-si hay làm sao mà nó lại thế ạ?
Lâu lâu bị lú lẫn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gianglqd: 26-01-2016 - 21:44
Mabel Pines - Gravity Falls
Bài 125 : Giải hệ pt
$\begin{cases} & x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{4}{y^2}=7 \\ (xy-1)^2=2x^2-y^2+3 & \end{cases}$
Có khi nào thay 7 thành 6 không nhỉ
Mabel Pines - Gravity Falls
Đóng góp tiếp nào!
Bài 127: $\begin{cases} & x\sqrt{x}-3y\sqrt{y}=3(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \\ & x-2y=6 \end{cases}$
Bài 128: $\begin{cases} & x^2y^2+3x+3y-3=0 \\ & x^2y-4xy-3y^2+2y-x+1=0 \end{cases}$
Don't care
2 bài có thể chuyển về hệ hoán vị vòng quanh tương đối hay
129.$x^3-\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{x+6}}=6$
130.$2(x^2+x+1)^2+2x^2+2x-3-\sqrt{4x+5}=0$
131.$\boldsymbol{\sqrt{3x^2-1}+\sqrt{x^2-x}-x\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(7x^2-x+4)}$
130.$2(x^2+x+1)^2+2x^2+2x-3-\sqrt{4x+5}=0$
Chỗ màu đỏ là dấu trừ nha bạn
Đầu tiên đặt $y=x^{2}+x-1$ ta được:
$2y^{2}+2(y+1)-3=\sqrt{5+4x}\Leftrightarrow y^{2}+y-1=\dfrac{\sqrt{4x+5}-1}{2}$
Đặt $z=\dfrac{\sqrt{4x+5}-1}{2}$ ta được:
$2z+1=\sqrt{4x+5}\Leftrightarrow z^{2}+z-1=x$
Khi đó ta được hệ:
$\begin{cases} & x(x+1)= y+1\\ & y(y+1)= z+1 \\ & z(z+1)= x+1 \end{cases}$
Nhân vế theo vế ta được: $xyz=1$ (1)
Công vế theo vế ta được: $x^{2}+y^{2}+x^{2}=3$ (2)
Từ (1), (2) theo BĐ Cô-si ta được $x=y=z=1$......
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gianglqd: 26-01-2016 - 22:43
Mabel Pines - Gravity Falls
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh