Chủ đề này có 1255 trả lời

[Baoriven]

Bài 472: Giải phương trình:

$\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}[\sqrt{(1+x)^3}-\sqrt{(1-x)^3}]=2+\sqrt{1-x^2}$

Bài 473: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x+y+4=\frac{12x+11y}{x^2+y^2} \\y-x+3=\frac{11x-12y}{x^2+y^2} \end{matrix}\right.$

[phamhuy1801]

Bài 472:

($1 \ge x \ge -1$)

Đặt $\sqrt{1-x}=a \ge 0; \sqrt{1+x}=b \ge 0 \rightarrow a^2+b^2=2$ (1)

$PT \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}+ab}.(a^3-b^3)=a^2+b^2+ab$

$\Leftrightarrow a^2-b^2=\sqrt{2}...$ (2)

Từ (1); (2) suy ra $a^2=\frac{\sqrt{2}+2}{2}$

$b^2=-\frac{\sqrt{2}-2}{2}$...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamhuy1801: 07-08-2016 - 08:00

[Baoriven]

Bài 472 còn có cách giải bằng pp lượng giác.

Điều kiện: $-1\leq x\leq 1$.

Đặt $x=cost,t\epsilon [0;\pi ]$.

Thay vào phương trình ban đầu, ta được:

$\sqrt{1+sint}[\sqrt{(1+cost)^3}-\sqrt{(1-x)^3}]=2+sint$.

$\Leftrightarrow ... \Leftrightarrow cost=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Vậy phương trình có nghiệm: $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

[NTA1907]

Bài 474: $\left\{\begin{matrix} &4(x+y)(x+1)(y+1)=5xy+(x+y+1)^{3} \\ &\sqrt{(2-x)(x-1)}=\sqrt{(3-y)(y-1)} \end{matrix}\right.$

 

Spoiler

Một bài toán thú vị :v

[An Infinitesimal]

 

Bài 473: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x+y+4=\frac{12x+11y}{x^2+y^2} \\y-x+3=\frac{11x-12y}{x^2+y^2} \end{matrix}\right.$

 

Hai lời giải: lời giải "kinh điển" và lời giải "kinh nghiệm".

Lời giải "kinh điển" dùng số phức.

Đặt $z=x+iy\neq 0$, ta có

Hệ được viết lại là \[(1-i)z+4+3i= \frac{12+11i}{z}.\]

Giải phương trình bậc hai, ta tìm được hai nghiệm $z$:

\[z_1=2+i,\]

\[z_2= - \frac{5}{2} - \frac{9\mathrm{i}}{2}.\]

Do đó hệ đúng hai nghiệm $(2,1), (- \frac{5}{2}, - \frac{9}{2}).$

 

Lời giải "kinh nghiệm"-tổ hợp hai phương trình để khử  mẫu "$x^2+y^2$".

(Chú trọng ý tưởng, bỏ qua tính chặt chẽ- không xét mọi trường hợp- bỏ qua các trường hợp tầm thường.)

Nhân thêm $x $ hoặc $y$ vào mỗi phương trình để khử mẫu.

$x\times PT_1-y \times PT_2:$ 

\[x^2-y^2+2xy+4x-3y=12.\quad\quad (*)\]

 

$y\times PT_1+ x \times PT_2:$

 

\[-x^2+y^2+2xy+3x+4y=11.\quad\quad (*()\]

(Hệ (*)+(**) có thể xử lý bằng nhiều cách khác nhau. Cách đơn "giản nhất" là khử $x^2, y^2$ và dùng phép thế. )

[NTA1907]

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

 

 

Bài 18: $(\sqrt{2-x^{2}}+1)(3-x^{2})+4x-4=0$

Bài 20: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+x^{2}+4x+16=y^{3}-5y^{2}+12y \\ &3x^{2}+3x+y-5=4(y+2)\sqrt{3x+y-5} \end{matrix}\right.$

Bài 21: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x+y-1}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{4x^{3}+3x^{2}+2} \\ &2\sqrt{\frac{x^{2}+2}{6}}+\sqrt{\frac{3x-2y}{2}}=\sqrt{\frac{2x^{2}+4x-y+4}{2}} \end{matrix}\right.$

Bài 37: $\left\{\begin{matrix} &(7x+y-2)\sqrt{xy+1}-15x-10=(x-y+7)(6x+2y-13) \\ &2x+6=(xy-5x-y+5)\sqrt{x-1}.y-6 \end{matrix}\right.$

Bài 78: $\sqrt{5x+4}+2\sqrt{2-x}=\frac{12x-2}{\sqrt{9x^{2}+16}}+3$

Bài 85: $\frac{9x^{2}-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}=\frac{(\sqrt{x-1}-1)(2x-4)}{x}$

Bài 88**: $4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

Bài 123: $\frac{1}{1+\sqrt{1+x}}+\frac{3x}{2(1+\sqrt{1+3x})}+\frac{1}{1+\sqrt{1+5x}}=\frac{2\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{4}$

Bài 161:a, $3\sqrt{8x^{3}+3}+1=6\sqrt{2x^{2}-2x+1}+8x$ 

c, $x\sqrt[3]{17-x^{2}}+x\sqrt{17-x^{2}}=9$ 

Bài 164: $\sqrt[3]{x^{3}+1}-\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[6]{x^{2}-1}$

Bài 183: $4^{x+1}+5^{\left | x \right |}=3^{\sqrt{x^{2}+1}}$

Bài 184: $x^{\sqrt{x^{2}+2}}+\sqrt[3]{x^{2}+7}=3x$

Bài 186: $(2\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})^{2}(4-3\sqrt{x+3})=\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$

Bài 187: $\left\{\begin{matrix} &8x^{3}+12x^{2}y+12xy-26x^{2}+28x-3y-3=0 \\ &y^{3}-6xy^{2}+9y^{2}-24xy+24x+24y+25=0 \end{matrix}\right.$

Bài 188: $\sqrt{x^{3}+5}+2\sqrt[3]{2x+1}+x=0$

Bài 199: $4x^{3}-4x-x\sqrt{1-x^{2}}+1=0$

Bài 202: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x+y}(\sqrt{x}+1)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+2 \\ &x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^{2}+4y-4}{2} \end{matrix}\right.$

Bài 225: $\left\{\begin{matrix} &y^{3}+2x^{3}+3y^{2}+4y+3xy(x+y+2)=2(3x^{2}-16x+14) \\ &5x^{2}+3x+y+3=\sqrt{y^{2}+4x+8}+3x\sqrt{2x^{2}-y+4} \end{matrix}\right.$

Bài 279: $\sqrt{2-x\sqrt{2}}+\sqrt[4]{2x-2}=1$

Bài 288: $2x^{4}+x^{4}\sqrt{x^{2}+2}+x-2=0$

Bài 290: $(2\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})^{2}.(4-3\sqrt{x+3})=\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$

Bài 297: $\begin{cases} \sqrt{3y^{2}+13}-\sqrt{15-2x}=\sqrt{x+1} & \text{ } \\ y^{4}-2xy^{2}+7y^{2}=(x+1)(8-x) & \text{ } \end{cases}$

Bài 307: $\left\{\begin{matrix} (9x^{2}+2)x+(y-2)\sqrt{4-3y}=0 & & \\9x^{2}+y^{2}+\frac{4}{3}\sqrt{2-3x}=\frac{10}{3} & & \end{matrix}\right.$

Bài 314: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy=3y^2-y\sqrt{xy} & \\ & \frac{y^2}{1+\sqrt{2-x}}+\frac{(2-x)^2}{1+y}=1 \end{matrix}\right.$

Bài 315: $\left\{\begin{matrix} x^{2}(x-3)+2=\sqrt{y^3+3y} & \\ & 3\sqrt{x-3}=\sqrt{y^2+8y} \end{matrix}\right.$

Bài 321: $\begin{cases} & y^{3}+\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}+2=y(\sqrt{x-1}-\sqrt{2-x}-1) \\ & 3xy^{2}-2y^{2}-2x+1=0 \end{cases}$

Bài 323: $(4x+3)(\sqrt{4+x}+\sqrt[3]{3x+8}-1)=9$

Bài 324: $\begin{cases} (1+3^{x-y})5^{1-x+y}=1+2^{x-y+2} & \text{ } \\ \sqrt[3]{y^{2}-3}-\sqrt{xy^{2}-2}+x=0 & \text{ } \end{cases}$

Bài 325: $\left\{\begin{matrix} \left ( \sqrt{y} + 1 \right )^{2} + \frac{y^{2}}x = y^{2} + 2\sqrt{x-2}{}\\ x + \frac{x - 1}{y}+\frac{y}{x}=y^{2}+y \end{matrix}\right.$

Bài 326: $\begin{cases} & 2(x+5)-2(y+4)-3(z-8)=0 \\ & 4(x+5)+6(z-8)=0\\ & (x+5)(x-2)+(y+4)(y-3)+(z-8)(z-1)=0 \end{cases}$

Bài 331: $\left\{\begin{matrix} x^3+y^3=1+x+y+xy & \\ & 7xy+y-x=7 \end{matrix}\right.$

Bài 335: $\left\{\begin{matrix} &(\sqrt{y}+1)^{2}+y^{2}x=y^{2}+2\sqrt{x-2} \\ &x+\frac{x-1}{y}+\frac{y}{x}=y^{2}+y \end{matrix}\right.$

Bài 336: $\begin{cases} (1+3^{x-y})5^{1-x+y}=1+2^{x-y+2} & \text{ } \\ \sqrt[3]{y^{2}-3}-\sqrt{xy^{2}-2}+x=0 & \text{ } \end{cases}$

Bài 338: $2x= (\sqrt[3]{9x+9}-x)^3+3$

Bài 339: $(\sqrt{x-4}+1)^3= \sqrt{x^3+2}$

Bài 349: $(x-2)\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}+(x-2)(x+1)=6$

Bài 350: $x^3+(3-\sqrt{x^2+2})x=1+2\sqrt{x^2+2}$

Bài 351: $\begin{cases} & x\sqrt{x-2y-1}+y\sqrt{x+2y-1}=2 \\ & x(x-y-2)+1=\sqrt[3]{y^{3}+3xy-3y+1} \end{cases}$

Bài 356: $(2x+4)\sqrt{5-x^{2}}+(x-1)\sqrt{5+x^{2}}\leq 7x+5$

Bài 360: $\begin{cases} & (x-2015)(2015+2016\sqrt[3]{y-2017})=1 \\ & \sqrt[3]{x-2014}(y-4032)=2016 \end{cases}$

Bài 380: $\left\{\begin{matrix} &(\sqrt{x+y-4}+1)^{2}=2y-7+2\sqrt{4x-xy} \\ &\dfrac{x+1}{y+2}+\dfrac{y+1}{x+2}=1+\dfrac{\sqrt{xy}}{4} \end{matrix}\right.$

Bài 388: $\frac{(x^{3}+3x^{2}\sqrt{x+1})(3-x)}{2+\sqrt{x+1}}=4(x+1)(2\sqrt{x+1}-x-1)$

Bài 395: $\begin{cases} & (x+y)^{2}+12\sqrt{x+y-6}=4x+3y+37 \\ & \sqrt{y^{2}-12}+10\sqrt{y}= x\sqrt{x^{2}y-5y}+10 \end{cases}$

Bài 398: $(2-5x)\sqrt{2x+1}+(5x+1)\sqrt{x+4}-\sqrt{(x+4)(2x+1)}-9x=0$

Bài 402: $\left\{\begin{matrix} x^3-xy^2+3x^2-2y^2-6y=4 & \\ x^2-y-3+\sqrt{2x+2y+3}=\sqrt{x^2+4x-3} \end{matrix}\right.$

Bài 413: $\left\{\begin{matrix} &y^{2}-x^{3}=\sqrt{x-1}-8 \\ &2\sqrt{y-1}+\sqrt{x-1}+12x-5y=20 \end{matrix}\right.$

Bài 417: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{y}}=3\\ x\sqrt{y}+\sqrt{y}-2\sqrt{x}=0 \end{matrix}\right.$

Bài 418: $x^3+\sqrt{(x+1)^3} + 1 = 2x^2 + 2x + 2x\sqrt{2x+1}$

Bài 423: $log_{2}({1-x^2})-log_{2}(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})=2$

Bài 425: $(\sqrt[3]{x-2}-1)(\sqrt{7-x}+1)\leq \sqrt{7-x}+x-5$

Bài 428: $\begin{cases} & y-6=\sqrt{y-4}+\sqrt{3-x}+\sqrt{x} \\ & \sqrt{4x+y}+\sqrt{3x^{2}+y-4}=x^{3}+7x-xy+2 \end{cases}$

Bài 429**: $\left ( \sqrt{\sqrt{x^{2}-8x+7}+\sqrt{x^{2}-8x-9}} \right )^{x}+\left ( \sqrt{\sqrt{x^{2}-8x+7}-\sqrt{x^{2}-8x-9}} \right )^{x}=2^{x+1}$

Bài 430**: $\left\{\begin{matrix} &x+y+xy=z^{2^{2003}}+2z^{2^{2002}} & \\ &x^{4}+y^{4}=2z^{2^{2004}} & \\ &(x+y)^{z-1}=(z+2004)^{x-y} & \end{matrix}\right.$

Bài 433: $2x^2+3x+1=\sqrt[3]{x^3+1}-\sqrt{x+1-\sqrt{x+1}}$

Bài 439: $3x+2+2\sqrt{2x^2+6x+21-(x+6)\sqrt{2-x}}=2\sqrt{2x+5}$

Bài 440: $\frac{x^2-2+\sqrt{x}(2x-\sqrt{x}-4)}{\sqrt{2x-4\sqrt{x-1}}-1}=\sqrt{4-x^2}$

Bài 462**: $\sqrt[4]{x^{4}+1}=\sqrt{x^{2}+3x+1}+\sqrt{2x+10}$

Bài 468: $\begin{cases} & 2x^2+\sqrt{2x}=(x+y)y+\sqrt{xy} \\ & \sqrt{x-1}+xy=\sqrt{y^2+21} \end{cases}$

Bài 474: $\left\{\begin{matrix} &4(x+y)(x+1)(y+1)=5xy+(x+y+1)^{3} \\ &\sqrt{(2-x)(x-1)}=\sqrt{(3-y)(y-1)} \end{matrix}\right.$

 

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 14-08-2016 - 22:07

[Baoriven]

Bài 474: $\left\{\begin{matrix} &4(x+y)(x+1)(y+1)=5xy+(x+y+1)^{3} \\ &\sqrt{(2-x)(x-1)}=\sqrt{(3-y)(y-1)} \end{matrix}\right.$

Lời giải bài 474: (Đúng như NTA1907 nói. 1 bài toán thú vị ).

Điều kiện: $1\leq x\leq 2;1\leq y\leq 3$.

Đặt $s=x+y;p=xy$.

Suy ra: $3\leq 4s-5\leq 15$.

Từ phương trình đầu ta có: $p(4s-5)=s^3-s^2-s+1$.

Vì: $4s-5\neq 0$ nên: $p=\frac{s^3-s^2-s+1}{4s-5}$.

Ta có: $\Delta=s^2-4p=\frac{-(s-2)^2}{4s-5}\geq 0$.

Do: $4s-5> 0$ nên $s=2$. Suy ra $p=1$.

Vậy hệ có nghiệm: $x=y=1$. 

[Baoriven]

Bài 325: $\left\{\begin{matrix} \left ( \sqrt{y} + 1 \right )^{2} + \frac{y^{2}}x = y^{2} + 2\sqrt{x-2}{}\\ x + \frac{x - 1}{y}+\frac{y}{x}=y^{2}+y \end{matrix}\right.$

Lời giải bài 325: 

Điều kiện: $x\geq 2;y\geq 0$.

Từ phương trình 2 ta có: $(x-y^2)(1+\frac{1}{y}-\frac{1}{x})=0$.

Do điều kiện: nên $1+\frac{1}{y}-\frac{1}{x}> 0$.

Do đó: $x=y^2$.

Thế $x=y^2$ vào phương trình 1 ta có:

$y+2\sqrt{y}=(y^2-2)+2\sqrt{y^2-2}$

Suy ra: $\sqrt{y}=\sqrt{y^2-2}.

Ta được nghiệm $y=2$ loại $y=-1$.

Vậy $x=4;y=2$ là nghiệm của hệ.

 

P/S: Bài 335 có cấu trúc tương tự Bài 325.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 08-08-2016 - 16:24

[L Lawliet]

Chào các bạn, mình xin phép được nói một vài điều "hơi liên quan" cho lắm trong topic này.

Như vậy là từ ngày được lập đến nay topic đã nhận được sự quan tâm và ủng hộ của đông đảo thành viên, điển hình là với gần 500 bài toán và với 50 trang thảo luận. Do vậy mình quyết định sẽ tổng hợp các bài toán và lời giải của các bạn lại thành một file (các bạn có thể xem một vài file tương tự như thế ở các topic trước đây mình từng làm hoặc của các diễn đàn khác). Việc tổng hợp như vậy nhằm mục đích chọn lọc những bài toán và lời giải hay lại cho tiện tìm kiếm, theo dõi và phục vụ cho việc học tập của mọi người. Do vậy mình mong các bạn khi đăng lời giải hãy cố gắng trình bày thật chi tiết và rõ ràng như đang làm một bài toán thực thụ trên giấy (vì với số lượng bài toán gần 500 mình sẽ phải gõ lại Latex và chỉnh sửa lại rất tốn thời gian) việc này sẽ giúp mình rút ngắn thời gian hơn.

Xin cảm ơn và chúc topic ngày càng phát triển 

----

Đây là mẫu mình đang làm nếu hai bạn đang làm thấy ổn thì liên lạc qua hòm thư giúp mình với nhe (mạng lag quá mình load nãy giờ không được :-s).

File gửi kèm

•  phuongtrinhhephuongtrinh.pdf   92.58K   123 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 08-08-2016 - 20:58

[Baoriven]

Bài 468: $\begin{cases} & 2x^2+\sqrt{2x}=(x+y)y+\sqrt{xy} \\ & \sqrt{x-1}+xy=\sqrt{y^2+21} \end{cases}$

Lời giải bài 468:

Điều kiện: $x\geq 1;y\geq 0$.

Viết lại phương trình 1: $(x-y)(2x+y)=\sqrt{x}(\sqrt{y}-\sqrt{2})$

Nên: $(x-y)$ và $(\sqrt{y}-\sqrt{2})$ cùng dấu.

* Xét: $x>y $ Suy ra : $y> 2$.

Từ phương trình hai ta có: $\sqrt{y^2+21}=\sqrt{x-1}+xy> \sqrt{y-1}+y^2$

$\Leftrightarrow \sqrt{y^2+21}-(y^2+1)> \sqrt{y-1}-1$

$\Leftrightarrow \frac{(4-y^2)(y^2+5)}{\sqrt{y^2+21}+(y^2+1)}> \frac{y-2}{\sqrt{y-1}+1}$

$\Leftrightarrow (y-2)(\frac{1}{\sqrt{y-1}+1}+\frac{(y+2)(y^2+5)}{\sqrt{y^2+1}+(y^2+1)})< 0$.

Suy ra : $y< 2$. (vô lý)

Chứng minh tương tự: $x< y$. Trường hợp này cũng không thỏa.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất: $x=y=2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 08-08-2016 - 18:29

[gianglqd]

Chào các bạn, mình xin phép được nói một vài điều "hơi liên quan" cho lắm trong topic này.

Như vậy là từ ngày được lập đến nay topic đã nhận được sự quan tâm và ủng hộ của đông đảo thành viên, điển hình là với gần 500 bài toán và với 50 trang thảo luận. Do vậy mình quyết định sẽ tổng hợp các bài toán và lời giải của các bạn lại thành một file (các bạn có thể xem một vài file tương tự như thế ở các topic trước đây mình từng làm hoặc của các diễn đàn khác). Việc tổng hợp như vậy nhằm mục đích chọn lọc những bài toán và lời giải hay lại cho tiện tìm kiếm, theo dõi và phục vụ cho việc học tập của mọi người. Do vậy mình mong các bạn khi đăng lời giải hãy cố gắng trình bày thật chi tiết và rõ ràng như đang làm một bài toán thực thụ trên giấy (vì với số lượng bài toán gần 500 mình sẽ phải gõ lại Latex và chỉnh sửa lại rất tốn thời gian) việc này sẽ giúp mình rút ngắn thời gian hơn.

Xin cảm ơn và chúc topic ngày càng phát triển 

Thấy để giới tính nữ nên xưng chị

Chị ơi hình như việc này haichau0401 và NTA1907 đang xúc tiến và thực hiện, chị thử hỏi mấy em đó xem đã làm tới đâu và hỗ trợ mấy đứa nó để tiết kiệm thời gian chị ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gianglqd: 08-08-2016 - 20:41

[An Infinitesimal]

Chào các bạn, mình xin phép được nói một vài điều "hơi liên quan" cho lắm trong topic này.

Như vậy là từ ngày được lập đến nay topic đã nhận được sự quan tâm và ủng hộ của đông đảo thành viên, điển hình là với gần 500 bài toán và với 50 trang thảo luận. Do vậy mình quyết định sẽ tổng hợp các bài toán và lời giải của các bạn lại thành một file (các bạn có thể xem một vài file tương tự như thế ở các topic trước đây mình từng làm hoặc của các diễn đàn khác). Việc tổng hợp như vậy nhằm mục đích chọn lọc những bài toán và lời giải hay lại cho tiện tìm kiếm, theo dõi và phục vụ cho việc học tập của mọi người. Do vậy mình mong các bạn khi đăng lời giải hãy cố gắng trình bày thật chi tiết và rõ ràng như đang làm một bài toán thực thụ trên giấy (vì với số lượng bài toán gần 500 mình sẽ phải gõ lại Latex và chỉnh sửa lại rất tốn thời gian) việc này sẽ giúp mình rút ngắn thời gian hơn.

Xin cảm ơn và chúc topic ngày càng phát triển 

----

Đây là mẫu mình đang làm nếu hai bạn đang làm thấy ổn thì liên lạc qua hòm thư giúp mình với nhe (mạng lag quá mình load nãy giờ không được :-s).

 

Hơn nữa, mọi người cũng thảo luận " sâu" cho một bài sẽ tốt hơn (có nhiều lời giải đặc sắc, có cái nhìn sâu sắc hơn).

[Baoriven]

Bài 326: $\begin{cases} & 2(x+5)-2(y+4)-3(z-8)=0 \\ & 4(x+5)+6(z-8)=0\\ & (x+5)(x-2)+(y+4)(y-3)+(z-8)(z-1)=0 \end{cases}$

Lời giải bài 326:

Đặt: $x+5=a;y+4=b;z-8=c$.

Ta có hệ mới: $\left\{\begin{matrix}2a-2b-3c=0 \\ 2a+3c=0 \\ a^2-7a+b^2-7b+c^2+7c=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}a=\frac{-3}{2}c \\ b=-3c \\ c=0 \end{matrix}\right.$

Suy ra : $a=b=c=0$.

Vậy hệ có nghiệm: $x=-5;y=-4;z=8$.

[NTA1907]

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

 

Bài 474: $\left\{\begin{matrix} &4(x+y)(x+1)(y+1)=5xy+(x+y+1)^{3} \\ &\sqrt{(2-x)(x-1)}=\sqrt{(3-y)(y-1)} \end{matrix}\right.$

 

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ.

Bài này có 1 cách làm rất lạ và hay như sau...

ĐK: $1\leq x\leq 2, 1\leq y\leq 3$

Đặt $z=1\Rightarrow x\geq z, y\geq z$

Khi đó phương trình (1) tương đương với:

$(x+y+z)^{3}+5xyz=4(x+y)(y+z)(z+x)$

$\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}+5xyz=(x+y)(y+z)(z+x)$

$\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz=xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$

Đây là một dạng của bất đẳng thức Schur. Ta có $VT\geq VP$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z=1$(trường hợp dấu = còn lại không xảy ra vì ĐK)

[Baoriven]

Cho mình hỏi Bài 315 đề có sai ko? Mình có nguồn và đề na ná:

$\left\{\begin{matrix}x^2(x-3)+2=\sqrt{y^3+3y^2} \\ 3\sqrt{x-2}=\sqrt{y^2+8y} \end{matrix}\right.$

[gianglqd]

Cho mình hỏi Bài 315 đề có sai ko? Mình có nguồn và đề na ná:

$\left\{\begin{matrix}x^2(x-3)+2=\sqrt{y^3+3y^2} \\ 3\sqrt{x-2}=\sqrt{y^2+8y} \end{matrix}\right.$

mình cũng có 1 bài khác PT 2

[Baoriven]

Nếu sửa lại thì Bài 315 có lời giải như sau:

Điều kiện: $\left\{\begin{matrix}x\geq 2 \\ y\geq 0 \end{matrix}\right.$.

Từ phương trình đầu ta có: $(x-1)^3-3(x-1)=(\sqrt{y+3})^3-3\sqrt{y+3}$.

Ta có: $\sqrt{y+3}\geq 3> 1,x-1>1$. Xét hàm $f(t)=t^3-3t,\forall t> 1$, có: $f'(t)=3t^2-3> 0$. Suy ra $x-1=\sqrt{y+3}$. 

Ta được: $y=x^2-2x-2$.

Thế vào phương trình hai ta có: $x^4-4x^3+8x^2-17x+6=0\Leftrightarrow (x-3)(x^3-x^2+5x-2)=0$.

Xét hàm $Q(x)=x^3-x^2+5x-2$ có $Q'(x)=3x^2-2x+5> 0$. Suy ra $Q(x)\geq Q(2)=13> 0$,

Nên $Q(x)=0$ vô nghiệm.

Vậy hệ có nghiệm: $(x;y)=(3;1)$.

[Baoriven]

Bài 475: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^2(y+z)^2=(3x^2+x+1)y^2z^2 \\ y^2(z+x)^2=(4y^2+y+1)z^2x^2 \\ z^2(x+y)^2=(5z^2+z+1)x^2y^2 \end{matrix}\right.$

 

P/S: Do topic còn quá nhiều bài chưa có lời giải, bên cạnh đó có nhiều bài quá khó. Mình xin đăng bài tiếp theo để các bạn lấy lại tinh thần. 

[An Infinitesimal]

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

 

 

 

Bài 429**: $\left ( \sqrt{\sqrt{x^{2}-8x+7}+\sqrt{x^{2}-8x-9}} \right )^{x}+\left ( \sqrt{\sqrt{x^{2}-8x+7}-\sqrt{x^{2}-8x-9}} \right )^{x}=2^{x+1}$

 

 

 

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ.

Bài 429 là bài "cơ bản"?

Điều kiện: ${x^{2}-8x+7}\ge 0, x^{2}-8x-9\ge 0, $

Phương trình có dạng $g(a^y, a^{-y})=0, \sqrt{\sqrt{x^{2}-8x+7}-\sqrt{x^{2}-8x-9}}>0.$

 

 $\left (\frac{\sqrt{\sqrt{x^{2}-8x+7}+\sqrt{x^{2}-8x-9}}}{2} \right )^{x}+\left (\frac{\sqrt{\sqrt{x^{2}-8x+7}-\sqrt{x^{2}-8x-9}} }{2}\right )^{x}=2.$

 

Hai số hạng ở vế trái là hai số dương và có tích bằng 1. Do đó phương trình  tương ứng "điều kiện" dấu bằng xảy ra, tức là

$\left(\frac{\sqrt{\sqrt{x^{2}-8x+7}+\sqrt{x^{2}-8x-9}}}{2} \right )^{x}=\left (\frac{\sqrt{\sqrt{x^{2}-8x+7}-\sqrt{x^{2}-8x-9}} }{2}\right )^{x} =1.$

Suy ra $x=0$ (nhưng không thỏa điều kiện) $x=0.$

Do đó phương trình ban đầu vô nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 13-08-2016 - 14:26

[An Infinitesimal]

Lời giải bài 468:

Điều kiện: $x\geq 1;y\geq 0$.

Viết lại phương trình 1: $(x-y)(2x+y)=\sqrt{x}(\sqrt{y}-\sqrt{2})$

Nên: $(x-y)$ và $(\sqrt{y}-\sqrt{2})$ cùng dấu.

* Xét: $x>y $ Suy ra : $y> 2$.

Từ phương trình hai ta có: $\sqrt{y^2+21}=\sqrt{x-1}+xy> \sqrt{y-1}+y^2$

$\Leftrightarrow \sqrt{y^2+21}-(y^2+1)> \sqrt{y-1}-1$

$\Leftrightarrow \frac{(4-y^2)(y^2+5)}{\sqrt{y^2+21}+(y^2+1)}> \frac{y-2}{\sqrt{y-1}+1}$

$\Leftrightarrow (y-2)(\frac{1}{\sqrt{y-1}+1}+\frac{(y+2)(y^2+5)}{\sqrt{y^2+1}+(y^2+1)})< 0$.

Suy ra : $y< 2$. (vô lý)

Chứng minh tương tự: $x< y$. Trường hợp này cũng không thỏa.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất: $x=y=2$.

 

Em làm không cẩn thận rồi! Trường hợp còn lại là trường hợp nào?

Phần còn lại phải giải hai phương trình (dù cả hai đều đơn giản):

Trường hợp 3+: $y=2$

\[\sqrt{x-1}+2x=5.\]

Trường hợp 4+: $x=y$

\[\sqrt{x-1}+x^2=\sqrt{x^2+21}.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 13-08-2016 - 14:36