Chủ đề này có 1255 trả lời

[NTA1907]

Bài 483: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &\dfrac{2x^{2}+4y^{2}}{xy}=4\sqrt{(\dfrac{2}{y}-\dfrac{3}{x})(x+y)}-1 \\ &\sqrt{(x+1)^{2}+xy+3x+2y+5-2x\sqrt{x(y+3)}}=\sqrt{x}+\sqrt{y+3} \end{matrix}\right.$

Một lời giải khác...

Phương trình (1) tương đương:

$2x^{2}+xy+4y^{2}=4\sqrt{xy(2x-3y)(x+y)}$

$\Leftrightarrow (4y^{2}+4xy)+(2x^{2}-3xy)=2\sqrt{(2x^{2}-3xy)(4xy+4y^{2})}$

$\Leftrightarrow 2x^{2}-3xy=4y^{2}+4xy$

$\Leftrightarrow x=4y$ hoặc $y=-2x$(1)

Phương trình (2) tương đương:

$\sqrt{x^{2}-2x\sqrt{x(y+3)}+x(y+3)+2(x+y+3)}=\sqrt{x}+\sqrt{y+3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\left ( x-\sqrt{x(y+3)} \right )^{2}+2(x+y+3)}=\sqrt{x}+\sqrt{y+3}\geq \sqrt{2(x+y+3)}$

$\Rightarrow x+y+3+2\sqrt{x(y+3)}\geq 2(x+y+3)$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-\sqrt{y+3})^{2}\leq 0$

$\Leftrightarrow x=y+3$(2)

Từ (1) và (2) ta giải được: $x=4, y=1$

[An Infinitesimal]

Sai đề, đề đúng phải là:

$$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=1+y-x+xy \\ 7xy+y-x=7 \end{matrix}\right.$$

 

Câu này đề cũng không chính xác. Đề đúng phải là:

$$\left\{\begin{matrix} &8x^{3}-12x^{2}y+12xy-26x^{2}+28x-3y-3=0 \\ &y^{3}-6xy^{2}+9y^{2}-24xy+24x+24y+25=0 \end{matrix}\right.$$

Khi đó đặt $x=\dfrac{a+1}{2}$ và $y=b-2$.

 

Các bạn nên kiểm tra kĩ nguồn đề trước khi post lên vì đề sai giải tốn thời gian vô ích lắm .

Về bài 331 và bài 187, mình đã thử giải bài 331. Nghiệm của bài này khá "xấu xí"- có lẽ không có gì đặc biệt. Tuy nhiên, không biết căn cứ vào đâu để chúng ta cho rằng đề sai. Đấy là một vấn đề thực sự khó nghĩ.

[An Infinitesimal]

 

Dễ thấy $y=-1$ không là nghiệm. Từ pt (1) ta có: $\dfrac{6y-2}{y+1}=x^2 \geq 0 \rightarrow y \geq \dfrac{1}{3}$ hoặc $y <-1$  

 

Ta có hệ đã cho tương đương với:

 

$\iff \left\{\begin{matrix} (x^4y^2+2x^2y^2+y^2)+(x^2y+y)=13y^2-1 \\ (x^2y+y)+(x^2+1)=7y-1 \end{matrix}\right.$

 

$\iff \left\{\begin{matrix} (x^2y+y)^2+(x^2y+y)=13y^2-1 \\ (x^2y+y)+(x^2+1)=7y-1 \end{matrix}\right.$

 

$\iff \left\{\begin{matrix} y^2(x^2+1)^2+y(x^2+1)=13y^2-1 \\ y(x^2+1)+(x^2+1)=7y-1 \end{matrix}\right.$

 

Đặt $y=a; \ x^2+1=b$, thay vào ta có:

 

$\iff \left\{\begin{matrix} a^2b^2+ab=13a^2-1 \\ ab+b=7a-1 \end{matrix}\right.$

 

Từ (2) $\rightarrow b=\dfrac{7a-1}{a+1}$ ($a \not = -1$)

 

Thay vào PT(1) ta có: $a^2(\dfrac{7a-1}{a+1})^2+\dfrac{a(7a-1)}{a+1}=13a^2-1$

 

$\iff (3a-1)(a-1)(12a^2+5a+1)=0$ 

 

$\iff a=\dfrac{1}{3}$     v    $a=1$

 

Vậy $a=1 \rightarrow b=3 \rightarrow x^2+1=3 \rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\pm \sqrt{2} \\  y=1 \end{matrix}\right.$

 

Với $a=\dfrac{1}{3} \iff b=1 \iff x=0;y=\dfrac{1}{3}$

 

p/s: Đã sửa,  mà cách bn Baoriven công nhận hay thật !

 

 

 

Lời giải khác cho Bài 482:

Điều kiện: $y\neq 0;y\neq -1$.

Khi đó: từ phương trình (1) suy ra:  

$x^2-2=\frac{4y-4}{y+1};x^2+3=\frac{9y+1}{y+1}$.

Thế vào phương trình (2) ta được:

$x^4y^2+x^2y^2+y+6y^2-2y=12y^2-1\Leftrightarrow (x^2-2)(x^2+3)y^2-y+1=0$

$\Leftrightarrow \frac{4(y-1)(9y+1)y^2}{(y+1)^2}=y-1\Leftrightarrow y=1;or;4(9y+1)y^2=(y+1)^2\Leftrightarrow y=1;or;y=\frac{1}{3}$

Với $y=1$ thì $x=\pm \sqrt{2}$.

Với $y=\frac{1}{3}$ thì $x=0$.

 

P/S: Bạn leminhnghiatt giải thiếu 1 nghiệm thì phải. 

 

Nhận xét sau sẽ làm không cho hai tác giả không vui: Cả hai chung quy cũng chỉ là phương pháp thế. Tuy nhiên, lời giải của bạn Baoriven  có thêm sự thông minh (thêm mẹo). Nói chung đây là hướng suy nghĩ rất tự nhiên.

 

Mục đích của việc đưa ra nhận xét là nhằm thúc đẩy việc tiếp tục thảo luận về bài toán này.

Bắt đầu việc thảo luận một vấn đề khó hơn, vấn đề sẽ được cung cấp sau, bằng việc thảo luận vấn đề nhẹ nhàng sau

Giải hệ phương trình sau

\[\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+2ax+2by=c, \\ x^2+2dx+2ey=f, \end{matrix}\right.\] 

trong đó $a, b, c, d, e, f$ là các số thực thỏa $c+a^2+b^2>0, f+d^2+e^2>0.$

Bên cạnh đó hãy minh họa ý tưởng giải hệ bằng "hình học". 

 

Có lẽ vấn đề tiếp theo khó và không có ý để giải quyết.

[L Lawliet]

Về bài 331 và bài 187, mình đã thử giải bài 331. Nghiệm của bài này khá "xấu xí"- có lẽ không có gì đặc biệt. Tuy nhiên, không biết căn cứ vào đâu để chúng ta cho rằng đề sai. Đấy là một vấn đề thực sự khó nghĩ.

Mình nghĩ không phải ngẫu nhiên mà câu 187 mình chỉnh lại đề là thành đề thi tuyển vào chuyên năm 2014 của trường nào đấy mình không nhớ tên và bài 331 là thành đề của Quyết tâm chinh phục phương trình, hệ phương trình (bài toán đi từ việc ý tưởng xây dựng hệ bằng hệ số bất định dẫn đến cách giải thiếu tự nhiên như trên). Còn nếu đề không sai thì nghiệm "xấu" như bạn nói và bài không có gì đặc biệt thì mình nghĩ chẳng ai chế ra làm gì đâu nhỉ.

[An Infinitesimal]

Mình nghĩ không phải ngẫu nhiên mà câu 187 mình chỉnh lại đề là thành đề thi tuyển vào chuyên năm 2014 của trường nào đấy mình không nhớ tên và bài 331 là thành đề của Quyết tâm chinh phục phương trình, hệ phương trình (bài toán đi từ việc ý tưởng xây dựng hệ bằng hệ số bất định dẫn đến cách giải thiếu tự nhiên như trên). Còn nếu đề không sai thì nghiệm "xấu" như bạn nói và bài không có gì đặc biệt thì mình nghĩ chẳng ai chế ra làm gì đâu nhỉ.

 

OK! Cảm ơn bạn!

Nếu mình thì mình chỉ nghi ngờ đề sai (không khẳng định đề sai) (dựa/ dẫn ra thông tin liên quan). Nhờ người post kiểm tra lại đề (và dẫn nguồn nếu cần).

Trong trường hợp người post đề không còn theo dõi chủ đề hoặc lâu mà không xuất hiện, mình sẽ đề xuất chuyển bài toán đó thành bài toán mà "mình nghĩ là đề đúng".

 

Chung quy: mình muốn biết những căn cứ cho thấy "đề như vậy mới có lẽ là đề đúng". Nếu không mình cứ thắc mắc mãi

 

Cảm ơn bạn về  những thông tin mà bạn đã đưa ra

 

----

Xin phép sửa bài của bạn nhe.

Mình rất thích đọc bài viết của bạn. Bài viết ít khi dừng ở việc giải quyết xong bài toán mà thường hay nêu ra những vấn đề liên quan và câu hỏi cho bài toán đó. Và mình ghi lại những bài viết đó vào sổ của mình rất nhiều =))

Mình chỉ muốn trích dẫn lại việc khẳng định đề sai thôi lần sau khi khẳng định đề mình sẽ trích dẫn nguồn đề để bạn yên tâm hen

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 21-08-2016 - 21:35

[conanthamtulungdanhkudo]

Nhờ mọi người giúp em giải câu hệ này vs ạ:

 

Hình gửi kèm

• 

[leminhnghiatt]

 

Bài 425: $(\sqrt[3]{x-2}-1)(\sqrt{7-x}+1)\leq \sqrt{7-x}+x-5$

 

$PT \iff (\sqrt[3]{x-2}-1)(\sqrt{7-x}+1) \leq (\sqrt{7-x}-2)+x-3$

 

$\iff \dfrac{(x-3)(\sqrt{7-x}+1)}{\sqrt[3]{x-2}^2+\sqrt[3]{x-2}+1} \leq \dfrac{3-x}{\sqrt{7-x}+2}+x-3$

 

$\iff \dfrac{(x-3)(\sqrt{7-x}+1)}{\sqrt[3]{x-2}^2+\sqrt[3]{x-2}+1} \leq \dfrac{(x-3)(\sqrt{7-x}+1)}{\sqrt{7-x}+2}$

 

$\iff (x-3)(\sqrt[3]{x-2}^2+\sqrt[3]{x-2}-1-\sqrt{7-x}) \geq 0$ (*)

 

Ta xét pt sau: $\sqrt[3]{x-2}^2+\sqrt[3]{x-2}-1-\sqrt{7-x} = 0$

 

Đặt $\sqrt[3]{x-2}=a;\sqrt{7-x}=b$, do đó ta có hệ pt sau:

 

$\iff \left\{\begin{matrix} a^2+a-1-b=0 \\ a^3+b^2=5 \end{matrix}\right.$

 

$\iff \left\{\begin{matrix} b=a^2+a-1 \\ a^3+(a^2+a-1)^2=5 \end{matrix}\right.$

 

$\rightarrow (a^2+2a-4)(a^2+a+1)=0$

 

$\iff a=-1+\sqrt{5}$          v           $a=-1-\sqrt{5}$

 

$\rightarrow x=-14-8\sqrt{5}$         v         $x=-14+8\sqrt{5}$

 

Vậy biểu thức vế trái pt (*) có 3 nghiệm: $x_1=3; \ x_2=-14-8\sqrt{5}; \ x_3=-14+8\sqrt{5}$

 

Đến đây ta lập bảng xét dấu để tìm nghiệm bpt (*) 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 22-08-2016 - 10:28

[leminhnghiatt]

Bài 279: $\sqrt{2-x\sqrt{2}}+\sqrt[4]{2x-2}=1$

 

ĐK: $1 \leq x \leq \sqrt{2}$

 

$\sqrt{2-x\sqrt{2}}+\sqrt[4]{2x-2}=1$

 

Đặt $\sqrt{2-x\sqrt{2}}=a; \sqrt[4]{2x-2}=b$, do đó ta có hệ pt:

 

$\iff \left\{\begin{matrix} a+b=1 \\ a^2\sqrt{2}+b^4=2\sqrt{2}-2 \end{matrix}\right.$

 

Thế (1) vào (2) ta có:

 

$\iff b^4+\sqrt{2}b^2-2\sqrt{2}b-\sqrt{2}+2=0$

 

$\iff (b^2-\sqrt[4]{2}b+\sqrt{2}-\sqrt[4]{2})(b^2+\sqrt[4]{2}b+\sqrt[4]{2}+\sqrt{2})=0$

 

$\rightarrow b=\dfrac{\sqrt[4]{2} \pm \sqrt{4\sqrt[4]{2}-3\sqrt{2}}}{2}$

 

$\iff x=\dfrac{b^4+2}{2}$ (với $b$ là 2 giá trị tìm được ở trên)

 

p/s: Cảm ơn a VanChanh, thực sự lúc a giải bài chỉ muốn đọc nhất là những lời nhận xét của a về bài toán, nó thực sự hữu ích và mở ra nhiều hướng tư duy khá mới. Mong a tiếp tục đưa ra những phê bình để mọi bài toán đc hoàn thiện hơn… Thêm nữa,  khá là ngưỡng mộ cách làm việc thẳng thắn của anh !

 

________

 

Chuẩn a, e đã sửa !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 22-08-2016 - 19:04

[L Lawliet]

$\iff b^4+\sqrt{2}b^2-2\sqrt{2}b-\sqrt{2}+2=0$

 

$\iff (b^2-\sqrt[4]{2}b+\sqrt{2}-\sqrt[4]{2})(b^2+\sqrt[4]{2}b+\sqrt[4]{2}+2)=0$

Phiền bạn trình bày rõ cách tách đoạn này giúp mình với vì mình cũng làm tương tự nhưng đến đoạn bậc bốn tách này mình làm khá lằng nhằng và đôi khi tách không được

[leminhnghiatt]

Nhờ mọi người giúp em giải câu hệ này vs ạ:

$(1) \iff (2y-x)(y^2+2y+x+2)=0$

 

$\iff x=2y$ (phần trong ngoặc luôn dương với $x \geq 1$)

 

Thế xuống pt (2) ta có:

 

$\iff \sqrt{x-1}+\sqrt[3]{2x+4}=x^2-2x+9$

 

Ta có: $\sqrt{x-1} \leq \dfrac{x}{2}; \ \sqrt[3]{2x+4} \leq \dfrac{2x+4+1+1}{3}=\dfrac{2x}{3}+2$

 

$\iff VT \leq \dfrac{x}{2}+\dfrac{2x}{3}+2$

 

Mà $VP- \dfrac{x}{2}-\dfrac{2x}{3}-2=x^2-\dfrac{31}{6}x+7>0$

 

$\rightarrow VT<VP$

 

Vậy hệ pt vô nghiệm

[leminhnghiatt]

Phiền bạn trình bày rõ cách tách đoạn này giúp mình với vì mình cũng làm tương tự nhưng đến đoạn bậc bốn tách này mình làm khá lằng nhằng và đôi khi tách không được

Thực ra thì đoạn này e mò cx không ra nên dùng wolframalpha tách thành nhân tử thôi cj

https://www.wolframa...{2}x-\sqrt{2}+2

[L Lawliet]

Bài 350: $x^3+(3-\sqrt{x^2+2})x=1+2\sqrt{x^2+2}$

Lời giải.

$$x^{2}+\left ( 3-\sqrt{x^{2}+2} \right )x=1+2\sqrt{x^{2}+2}$$

$$\Leftrightarrow x^{2}+2-\left ( x+2 \right )\sqrt{x^{2}+2}+3x-3=0$$

$$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x^{2}+2}-x+1 \right )\left ( \sqrt{x^{2}+2}-4 \right )=0$$

- Với $\sqrt{x^{2}+2}=x-1$.

Điều kiện $x\geq 1$ bình phương hai vế ta được phương trình:

$$x^{2}+2=\left ( x-1 \right )^{2}$$

$$\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}$$

Đối chiếu điều kiện ta loại nghiệm này.

- Với $\sqrt{x^{2}+2}=4.

Bình phương hai về ta được:

$$x^{2}+2=16$$

$$\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{14}$$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\pm \sqrt{14}$.

[An Infinitesimal]

 

Lời giải.

$$x^{2}+\left ( 3-\sqrt{x^{2}+2} \right )x=1+2\sqrt{x^{2}+2}$$

$$\Leftrightarrow x^{2}+2-\left ( x+2 \right )\sqrt{x^{2}+2}+3x-3=0$$

$$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x^{2}+2}-x+1 \right )\left ( \sqrt{x^{2}+2}-4 \right )=0$$

- Với $\sqrt{x^{2}+2}=x-1$.

Điều kiện $x\geq 1$ bình phương hai vế ta được phương trình:

$$x^{2}+2=\left ( x-1 \right )^{2}$$

$$\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}$$

Đối chiếu điều kiện ta loại nghiệm này.

- Với $\sqrt{x^{2}+2}=4.

Bình phương hai về ta được:

$$x^{2}+2=16$$

$$\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{14}$$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\pm \sqrt{14}$.

 

Hình như lời giải của bạn cho "đề khác" ?

----

Ôi nhìn không kĩ... hic...

----

Trùng hợp là lời giải của mình lại là bài toán trang 104 chuyên đề phương trình, hệ phương trình của mathscope!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 22-08-2016 - 14:54

[An Infinitesimal]

Phiền bạn trình bày rõ cách tách đoạn này giúp mình với vì mình cũng làm tương tự nhưng đến đoạn bậc bốn tách này mình làm khá lằng nhằng và đôi khi tách không được

 

 

ĐK: $1 \leq x \leq \sqrt{2}$

 

$\sqrt{2-x\sqrt{2}}+\sqrt[4]{2x-2}=1$

 

Đặt $\sqrt{2-x\sqrt{2}}=a; \sqrt[4]{2x-2}=b$, do đó ta có hệ pt:

 

$\iff \left\{\begin{matrix} a+b=1 \\ a^2\sqrt{2}+b^4=2\sqrt{2}-2 \end{matrix}\right.$

 

.....

 

 

Hình như em gõ nhầm:

 

$$ (b^2-\sqrt[4]{2}b+\sqrt{2}-\sqrt[4]{2})(b^2+\sqrt[4]{2}b+\sqrt[4]{2}+2)=0.$$

 

Có lẽ đúng là 

 

$$(b^2-\sqrt[4]{2}b+\sqrt{2}-\sqrt[4]{2})(b^2+\sqrt[4]{2}b+\sqrt[4]{2}+\sqrt{2})=0.$$

 

Theo mình nghĩ con đường giải PT bậc 4 tổng quát sẽ cho chúng ta cái nhìn rõ hơn "phân tích nhân tử" ở trên.

Đó là dự đoán và được thực nghiệm như bên dưới.

 

Lý giải sơ bộ:

Nhận xét:

\[(b^2-\sqrt[4]{2}b+\sqrt{2}-\sqrt[4]{2})(b^2+\sqrt[4]{2}b+\sqrt[4]{2}+\sqrt{2})= (b^2+\sqrt{2})^2- \sqrt{2} \left(b+1\right)^2.\]

 

 

Phần nào cho ta cách phân tích nhưng không giúp ta nghĩ ra cách phân tích.

 

Lý giải "tận gốc": Xét PT $ b^4+\sqrt{2}b^2-2\sqrt{2}b-\sqrt{2}+2=0$

$ \iff (b^2+m)^2=(2m-\sqrt{2})b^2+2\sqrt{2}b+m^2+\sqrt{2}-2=0.$

Từ giải thích sơ bộ, ta thấy với $m= \sqrt{2}$ thì vế phải là một bình phương đúng. Tuy nhiên, để có một lý giải thực sự, ta không nên bám vào điều đó.

Chọn số thực $m$ thỏa $\sqrt{2}^2= (m^2+\sqrt{2}-2)(2m-\sqrt{2}).$

Hay 

\[2 m^3 + \left(- \sqrt{2}\right) m^2 + \left(2 \sqrt{2} - 4\right) m + \left(2 \sqrt{2} - 4\right)=0.\]

 

 

Phần giải tiếp để chỉ ra $m=\sqrt{2}$ cũng không mấy thân thiện.

 

 

Hay bình luận chứ không chắc đã giải tốt hoặc "can đảm" bước vào xử lý bài phức tạp như thế này.

Một truyện cười về "phê bình":

Nhà thơ trẻ hỏi nhà phê bình: Tại sao ông phê bình thơ tôi dỡ ẹt  trong khi ông không viết nổi một câu thơ?

Nhà phê bình mỉm cười và nói:
Tôi không thể đẻ trứng nhưng tôi có thể phân biệt trứng tốt với trứng thối

 

 

------------------------------------------------------------------------------

Thêm một góc nhìn khác

$ \left\{\begin{matrix} a+b=1 \\ a^2\sqrt{2}+b^4=2\sqrt{2}-2 \end{matrix}\right.$

Đặt $u= \frac{a}{\sqrt[4]{2}}, v= \frac{b}{\sqrt[4]{2}}$,  ta có hệ phương trình 

 

 

$ \left\{\begin{matrix} u+v=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\\ v^2+u^4=\sqrt{2}-1 \end{matrix}\right.$

 

 

Hệ mới có vẻ đơn giản hơn nhưng không biết dễ giải hơn hay không? Tuy thế, ta dùng ý "$v= \frac{b}{\sqrt[4]{2}}$" để tiếp tục bàn luận vấn đề trên.

 

$$ (b^2-\sqrt[4]{2}b+\sqrt{2}-\sqrt[4]{2})(b^2+\sqrt[4]{2}b+\sqrt[4]{2}+\sqrt{2})=0.$$

$$ ``\iff'' (v^2-v+1-\frac{1}{\sqrt[4]{2}})(v^2+v+1+\frac{1}{\sqrt[4]{2}})=0.$$

Điều có có nghĩa là sau khi chuyển sang ẩn $v$ và chia 2 cho 2 vế, ta thu được phương trình bậc hai theo ``ẩn'' $t=\frac{1}{\sqrt[4]{2}} (t>0).$

 

Kiểm tra lại ý tưởng:

 

$$ b^4+\sqrt{2}b^2-2\sqrt{2}b-\sqrt{2}+2=0.$$

 

 

$$``\iff'' -t^2 -2vt+v^4+v^2+1=0.$$

Vì $\Delta'=(v^2+1)^2$ nên 

\[\frac{1}{\sqrt[4]{2}}=v^2+1-v.\]

 

 

P.S: Việc sử dụng hằng số biến thiên đã được nghĩ đến vì trong phương trình vừa có $\sqrt{2}$ và $2$. Tuy nhiên PT tương ứng là PT bậc 3 theo $\sqrt{2}$ hoặc là bậc hai nhưng có $\Delta$ không ``chính phương''. Tuy nhiên, việc chia 2 cho 2 vế, hay đổi sang ẩn mới $v= \frac{b}{\sqrt[4]{2}}$, là một kỹ thuật cần sử dụng nhưng không tự nhiên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 22-08-2016 - 18:21

[L Lawliet]

Không biết tác giả hay người post đề của bài 350 mình post ở trên có ngụ ý chế thêm theo cách giải khác hay ý gì khác không nhỉ?

Bài trên ở trang 104 chuyên đề phương trình, hệ phương trình của diễn đàn mathscope.

[An Infinitesimal]

ĐK: $1 \leq x \leq \sqrt{2}$

 

$\sqrt{2-x\sqrt{2}}+\sqrt[4]{2x-2}=1$

 

Đặt $\sqrt{2-x\sqrt{2}}=a; \sqrt[4]{2x-2}=b$, do đó ta có hệ pt:

 

$\iff \left\{\begin{matrix} a+b=1 \\ a^2\sqrt{2}+b^4=2\sqrt{2}-2 \end{matrix}\right.$

 

Thế (1) vào (2) ta có:

 

$\iff b^4+\sqrt{2}b^2-2\sqrt{2}b-\sqrt{2}+2=0$

 

$\iff (b^2-\sqrt[4]{2}b+\sqrt{2}-\sqrt[4]{2})(b^2+\sqrt[4]{2}b+\sqrt[4]{2}+\sqrt{2})=0$

 

$\rightarrow b=\dfrac{\sqrt[4]{2} \pm \sqrt{\sqrt[4]{2}-3\sqrt{2}}}{2}$

 

$\iff x=\dfrac{b^4+2}{2}$ (với $b$ là 2 giá trị tìm được ở trên)

 

 

 

Hình như em giải nhầm. Tìm $b$ sai do tính nhầm $\Delta$- Nghiệm hiện tại có dấu hiệu sai ở chỗ số hạng trong căn âm,  phần bên trong là $4\sqrt[4]{2}-3\sqrt{2}.$

[NTA1907]

Bài 485: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{3}-y}=\dfrac{2y}{x(4x-1)} \\ &\sqrt[3]{2x^{2}+8y}=\dfrac{7-4y}{x(x+1)} \end{matrix}\right.$

Bài 486: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{3}+y^{6}}\left ( 2+\dfrac{x^{4}}{x^{3}+5y^{6}} \right )=\dfrac{22x^{2}}{5} \\ &\dfrac{2y^{3}}{x^{4}}-\dfrac{y^{3}}{x^{3}+5y^{6}}=\dfrac{9}{10x^{2}} \end{matrix}\right.$

 

 

[L Lawliet]

Bài 487. Giải phương trình:

$$x+\sqrt{\sqrt{-x-1}+\sqrt{1+2\sqrt{-x-1}}}=\sqrt{-x-1}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 24-08-2016 - 10:13

[Baoriven]

Bài 487: Giải phương trình:

$x+\sqrt{\sqrt{-x-1}+\sqrt{1+2\sqrt{-x-1}}}=\sqrt{-x-1}$

Lời giải bài 487:

Điều kiện: $-x-1\geq 0$.

Đặt: $-x-1=t^2,t\geq 0$.
Phương trình tương đương: $-1-t^2+\sqrt{t+\sqrt{1+2t}}=t$

$\frac{t+\frac{2t}{\sqrt{1+2t}+1}}{\sqrt{t+\sqrt{1+2t}}+1}=t(t+1)$

Ta được $t=0$ Suy ra được: $x=-1$.

Ta lại có: $1+\frac{2}{\sqrt{1+2t}+1}<2<\sqrt{t+\sqrt{1+2t}}+1$ với $t\geq 0$.

Suy ra: $\frac{1+\frac{2}{\sqrt{1+2t}+1}}{\sqrt{t+\sqrt{1+2t}}+1}< 1< t+1$

Vậy được nghiệm duy nhất: $x=-1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 24-08-2016 - 22:32

[L Lawliet]

Lời giải bài 487:

Điều kiện: $-x-1\geq 0$.

Đặt: $-x-1=t^2,t\geq 0$.
Phương trình tương đương: $-1-t^2+\sqrt{t+\sqrt{1+2t}}=t$

Sau khi đặt ẩn như trên ta có thể dùng AM-GM để đánh giá luôn

Phương trình tương đương:

$$\sqrt{t+\sqrt{1+2t}}=t^{2}+t+1$$

\begin{align*} \sqrt{t+\sqrt{1+2t}} &\leq \sqrt{t+\frac{1+2t+1}{2}} \\ &=\sqrt{2t+1} \\ &\leq \dfrac{2t+1+1}{2} \\ &=t+1 \\ &\leq t^{2}+t+1 \end{align*}

Dấu bằng xảy ra khi vài chỉ khi $t=0$ hay $x=-1$.