Chủ đề này có 2 trả lời

[Truong Gia Bao]

Cho $a,b,c>0$: $ a^3+b^3+c^3=1$. Tìm GTNN của biểu thức: $P=a^5+b^5+c^5$

[hoctrocuaHolmes]

Cho $a,b,c>0$: $ a^3+b^3+c^3=1$. Tìm GTNN của biểu thức: $P=a^5+b^5+c^5$

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{9}\Rightarrow a+b+c\leq \sqrt[3]{9}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có $(a^{5}+b^5+c^5)(a+b+c)\geq (a^3+b^3+c^3)^{2}=1\Rightarrow a^{5}+b^5+c^5\geq \frac{1}{a+b+c}\geq \frac{1}{\sqrt[3]{9}}$

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

[tpdtthltvp]

Cho $a,b,c>0$: $ a^3+b^3+c^3=1$. Tìm GTNN của biểu thức: $P=a^5+b^5+c^5$

Áp dụng BĐT $Cauchy-schwarz$ và Cauchy, ta có:

$(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)\geq (a^2+b^2+c^2)^2\geq \frac{(a+b+c)^4}{9}\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a+b+c)^3}{9}\Rightarrow a+b+c\leq \sqrt[3]{9}$.

Và $(a+b+c)(a^5+b^5+c^5)\geq (a^3+b^3+c^3)^2=1\Rightarrow a^5+b^5+c^5\geq \frac{1}{a+b+c}\geq \frac{1}{\sqrt[3]{9}}$

 

Vậy $GTNN=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$

P/S: Chậm mất rồi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 14-01-2016 - 19:36