4 replies to this topic

[tra81]

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn $ab + bc + ca = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{1}{{{c^2} + {a^2}}} + 10\sqrt {\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)} $

[quoccuonglqd]

Ta chứng minh $P\geqslant \frac{45}{2}$

Sử dụng bổ đề $\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geqslant \frac{5(abc+1)}{2}$

$f(abc)=\frac{5}{2}(abc+1)+\sqrt{abc+a+b+c+2}$

$abc\geqslant 0$,dễ thấy hàm $f(x)=\frac{5}{2}(x+1+\sqrt{x+2+\alpha })$ đồng biến

Nên f(abc) min tại abc min,lại có khi cố định $a+b+c,ab+bc+ca$, abc min khi 2 biến bằng nhau,1 biến $=0$

Lấy $a=b=1,c=0$,ta có dpcm

Edited by quoccuonglqd, 27-01-2016 - 08:14.

[Nguyenhuyen_AG]

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn $ab + bc + ca = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{1}{{{c^2} + {a^2}}} + 10\sqrt {\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)} $

 

Trước hết ta có \[\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{1}{{{c^2} + {a^2}}} \geqslant \frac{10}{(a+b+c)^2},\] và $(a+1)(b+1)(c+1) = abc+ab+bc+ca+a+b+c+1 \geqslant a+b+c+2.$ Do đó \[P \geqslant \frac{10}{(a+b+c)^2}+10\sqrt{a+b+c+2}.\] Đặt $t = \sqrt{a+b+c+2} \geqslant \sqrt{\sqrt{3}+2}$ thì \[P \geqslant f(t) = \frac{10}{(t^2-2)^2}+10t.\] Khảo sát hàm $f(t)$ ta được \[f(t) \geqslant f(2) = \frac{45}{2}.\] Do đó $P \geqslant f(t) \geqslant \frac{45}{2}$ ngoài ra nếu $a=b=1,\,c=0$ thì $P = \frac{45}{2}$ điều này cho phép ta kết luận giá trị nhỏ nhất cần tìm là $\frac{45}{2}.$

Edited by Nguyenhuyen_AG, 26-01-2016 - 22:51.

[vietanhpbc]

Trước hết ta có \[\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{1}{{{c^2} + {a^2}}} \geqslant \frac{10}{(a+b+c)^2},\] và $(a+1)(b+1)(c+1) = abc+ab+bc+ca+a+b+c+1 \geqslant a+b+c+2.$ Do đó \[P \geqslant \frac{10}{(a+b+c)^2}+10\sqrt{a+b+c+2}.\] Đặt $t = \sqrt{a+b+c+2} \geqslant \sqrt{\sqrt{3}+2}$ thì \[P \geqslant f(t) = \frac{10}{(t^2-2)^2}+10t.\] Khảo sát hàm $f(t)$ ta được \[f(t) \geqslant f(2) = \frac{45}{2}.\] Do đó $P \geqslant f(t) \geqslant \frac{45}{2}$ ngoài ra nếu $a=b=1,\,c=1$ thì $P = \frac{45}{2}$ điều này cho phép ta kết luận giá trị nhỏ nhất cần tìm là $\frac{45}{2}.$

Theo em thấy dấu "=" khi a=b=c=1 chưa đúng

[Nguyenhuyen_AG]

Theo em thấy dấu "=" khi a=b=c=1 chưa đúng

 

Chỗ đấy anh gõ nhầm $a=b=1,\,c=0$ mới đúng.