Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn $ab + bc + ca = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{1}{{{c^2} + {a^2}}} + 10\sqrt {\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)} $
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn $ab + bc + ca = 1$
#1
Đã gửi 17-01-2016 - 14:03
#2
Đã gửi 26-01-2016 - 08:44
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 27-01-2016 - 08:14
#3
Đã gửi 26-01-2016 - 22:30
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn $ab + bc + ca = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{1}{{{c^2} + {a^2}}} + 10\sqrt {\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)} $
Trước hết ta có \[\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{1}{{{c^2} + {a^2}}} \geqslant \frac{10}{(a+b+c)^2},\] và $(a+1)(b+1)(c+1) = abc+ab+bc+ca+a+b+c+1 \geqslant a+b+c+2.$ Do đó \[P \geqslant \frac{10}{(a+b+c)^2}+10\sqrt{a+b+c+2}.\] Đặt $t = \sqrt{a+b+c+2} \geqslant \sqrt{\sqrt{3}+2}$ thì \[P \geqslant f(t) = \frac{10}{(t^2-2)^2}+10t.\] Khảo sát hàm $f(t)$ ta được \[f(t) \geqslant f(2) = \frac{45}{2}.\] Do đó $P \geqslant f(t) \geqslant \frac{45}{2}$ ngoài ra nếu $a=b=1,\,c=0$ thì $P = \frac{45}{2}$ điều này cho phép ta kết luận giá trị nhỏ nhất cần tìm là $\frac{45}{2}.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 26-01-2016 - 22:51
- vietanhpbc và NTA1907 thích
Ho Chi Minh City University Of Transport
#4
Đã gửi 26-01-2016 - 22:43
Trước hết ta có \[\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{1}{{{c^2} + {a^2}}} \geqslant \frac{10}{(a+b+c)^2},\] và $(a+1)(b+1)(c+1) = abc+ab+bc+ca+a+b+c+1 \geqslant a+b+c+2.$ Do đó \[P \geqslant \frac{10}{(a+b+c)^2}+10\sqrt{a+b+c+2}.\] Đặt $t = \sqrt{a+b+c+2} \geqslant \sqrt{\sqrt{3}+2}$ thì \[P \geqslant f(t) = \frac{10}{(t^2-2)^2}+10t.\] Khảo sát hàm $f(t)$ ta được \[f(t) \geqslant f(2) = \frac{45}{2}.\] Do đó $P \geqslant f(t) \geqslant \frac{45}{2}$ ngoài ra nếu $a=b=1,\,c=1$ thì $P = \frac{45}{2}$ điều này cho phép ta kết luận giá trị nhỏ nhất cần tìm là $\frac{45}{2}.$
Theo em thấy dấu "=" khi a=b=c=1 chưa đúng
Học từ ngày hôm qua, sống ngày hôm nay, hi vọng cho ngày mai. Điều quan trọng nhất là không ngừng đặt câu hỏi.
Learn from yesterday, live for today, hope for tomorrow. The important thing is not to stop questioning.
ALBERT EINSTEIN
#5
Đã gửi 26-01-2016 - 22:51
Theo em thấy dấu "=" khi a=b=c=1 chưa đúng
Chỗ đấy anh gõ nhầm $a=b=1,\,c=0$ mới đúng.
- vietanhpbc yêu thích
Ho Chi Minh City University Of Transport
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh