Chủ đề này có 1 trả lời

[pnam2511]

cho a,b,c > 0 và a+b+c=3

chứng minh

*** Cannot compile formula:
\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{4b^2+a^2+c^2}+\frac{1}{4c^2+b^2+a^2} \leq \frac{1}{2}

*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pnam2511: 17-01-2016 - 23:05

[royal1534]

cho a,b,c > 0 và a+b+c=3

chứng minh

*** Cannot compile formula:
\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{4b^2+a^2+c^2}+\frac{1}{4c^2+b^2+a^2} \leq \frac{1}{2}

*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty

BĐT cần chứng minh $\leftrightarrow \sum \frac{(a+b+c)^{2}}{36a^{2}+9b^{2}+9c^{2}} \leq \frac{1}{2}$

Áp dụng bđt Swarchz ta có:

$\frac{(a+b+c)^{2}}{36a^{2}+9b^{2}+9c^{2}}=\frac{(a+b+c)^{2}}{18a^{2}+(9a^{2}+9b^{2})+(9a^{2}+9c^{2})} \leq \frac{a^{2}}{18a^{2}}+\frac{b^{2}}{9a^{2}+9b^{2}}+\frac{c^{2}}{9a^{2}+9c^{2}}=\frac{1}{18}+\frac{b^{2}}{9a^{2}+9b^{2}}+\frac{c^{2}}{9a^{2}+9c^{2}}$

Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại:

$\sum \frac{(a+b+c)^{2}}{36a^{2}+9b^{2}+9c^{2}} \leq \frac{3}{18}+\sum \frac{b^{2}}{9(a^{2}+b^{2})}+\sum \frac{c^{2}}{9(a^{2}+c^{2})}=\frac{3}{18}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{1}{2}$