Chủ đề này có 1 trả lời

[beflower]

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn $abc=\frac{1}{6}$. Tìm Min của P.

$P=\frac{1}{a^4(2b+1)(3c+1)} + \frac{1}{16a^4(3c+1)(a+1)} + \frac{1}{81a^4(a+1)(2b+1)}$

[haichau0401]

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn $abc=\frac{1}{6}$. Tìm Min của P.

$P=\frac{1}{a^4(2b+1)(3c+1)} + \frac{1}{16a^4(3c+1)(a+1)} + \frac{1}{81a^4(a+1)(2b+1)}$

Đề phải là $P = \frac{1}{a^{4}(2b+1)(3c+1)} + \frac{1}{16b^{4}(3c+1)(a+1)} + \frac{1}{81c^{4}(a+1)(2b+1)}$ chứ bạn!

Ta đặt:

$\left\{\begin{matrix} a=\dfrac{1}{x} & & & \\ 2b=\dfrac{1}{y} & & & \\ 3c=\dfrac{1}{z}& & & \end{matrix}\right.\Rightarrow xyz=1$

Ta có:

$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3$

$3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2\geq 9\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq 3$

Khi đó:

$P=\sum \frac{1}{\dfrac{1}{x^4}(\dfrac{1}{y}+1)(\dfrac{1}{z}+1)}\Rightarrow \sum \dfrac{x^4}{1+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}\geq \dfrac{(\sum x^2)^2}{3+2\sum \dfrac{1}{x}+\sum \dfrac{1}{xy}}= \sum \dfrac{(\sum x^2)^2}{3+x+y+z+2(xy+yz+xz)}\geq \dfrac{(\sum x^2)^2}{3+\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}+2(x^2+y^2+z^2)}\geq \dfrac{(\sum x^2)^2}{x^2+y^2+z^2+\sqrt{(\sum x^2)^2}+2(x^2+y^2+z^2)}= \dfrac{(\sum x^2)^2 }{4(x^2+y^2+z^2)}= \dfrac{x^2+y^2+z^2}{4}\geq \dfrac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haichau0401: 31-01-2016 - 21:36