6 replies to this topic

[Mai Pham]

Cho hình chóp SAB có SA vuông góc (ABC). Tam giác ABC vuông góc B. H, K là hình chiếu của A lên SB, SC

a, Chứng minh AH vuông góc (SBC) và SC vuông góc (AHK)

b, C/m BCKH nội tiếp và SH.SB=SK.SC

c, Tìm điểm cách đều A, B, C, H, K

d, C/m BK<AC

e, khi S di chuyển trên Ax vuông góc (ABC). C/m HK luôn đi qua một điểm T cố định và góc TAB = góc TCA. C/m kết quả luôn đúng khi tam giác ABC không vuông ở B

f, I là trung điểm AT. C/m IH là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AHK

[lequangnghia]

Cho hình chóp SAB có SA vuông góc (ABC). Tam giác ABC vuông góc B. H, K là hình chiếu của A lên SB, SC

a, Chứng minh AH vuông góc (SBC) và SC vuông góc (AHK)

b, C/m BCKH nội tiếp và SH.SB=SK.SC

c, Tìm điểm cách đều A, B, C, H, K

d, C/m BK<AC

e, khi S di chuyển trên Ax vuông góc (ABC). C/m HK luôn đi qua một điểm T cố định và góc TAB = góc TCA. C/m kết quả luôn đúng khi tam giác ABC không vuông ở B

f, I là trung điểm AT. C/m IH là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AHK

a) Ta có BC vuông góc BA ( Tam giác ABC vuông ở B)

BC vuông AS ( do AS vuông mặt ABC)

nên BC vuông (SAB)

mà AH con (SAB)

$\Rightarrow$ AH vuông BC

Ta có AH vuông BC

AH vuông SB

nên AH vuông (SBC)

 Ta có AH vuông (SBC)

mà SC con (SBC)

nên AH vuông SC

Ta có SC vuông AH

SC vuông AK

nên SC vuông (AHK)

[lequangnghia]

Cho hình chóp SAB có SA vuông góc (ABC). Tam giác ABC vuông góc B. H, K là hình chiếu của A lên SB, SC

a, Chứng minh AH vuông góc (SBC) và SC vuông góc (AHK)

b, C/m BCKH nội tiếp và SH.SB=SK.SC

Ta có BC vuông (SAB) 

mà SB thuộc (SAB) nên BC vuông SB

SC vuông (AHK)

mà HK thuộc (AHK) nên SC vuông HK suy ra BHKC nội tiếp

$\Delta SKH\sim \Delta SBC$ từ đây ta suy ra tỉ lệ

[lequangnghia]

c, Tìm điểm cách đều A, B, C, H, K

Gọi I là trung điểm AC

$\Delta ABC$ vuông ở B nên $IA=IC=IB$

$\Delta AKC$ vuông ở K nên $IA=IC=IK$

AH vuông (SBC)

Mà HC con (SBC)

nên AH vuông HC

Vậy $\Delta AHC$ vuông ở H nên $IA=IC=IH$

Do đó I cách đều A, B, C, H, K

[lequangnghia]

d, C/m BK<AC

Ta có A, B, C, K, H cùng cách đều điểm I

nên A, B, C, K, K cùng thuộc một mặt cầu tâm I

Mà ta đã biết, trong mặt cầu, đường kính có chiều dài lớn nhất so với các đoạn nối 2 điểm bất kì thuộc mặt cầu

nên $BK<AC$ ( $AC$ là đường kính)

[lequangnghia]

e, khi S di chuyển trên Ax vuông góc (ABC). C/m HK luôn đi qua một điểm T cố định và góc TAB = góc TCA. C/m kết quả luôn đúng khi tam giác ABC không vuông ở B

Gọi T là giao của HK và BH

T thuộc BC, BC con (ABC) nên T thuộc (ABC)

Do, B, C, K, H thuộc 1 đường tròn nên

$CB.CT=CK.CS$

mà $CK.CS=AC^{2}$

nên $CB.CT=CA^{2}$

Vậy tam giác ABT vuông ở A có Ab là đường cao.

Suy ra T cố định, đpcm

Lúc này góc TAB bằng góc TCA ( vì cùng cộng với góc BAC góc 90)

Edited by lequangnghia, 06-02-2016 - 09:29.

[lequangnghia]

f, I là trung điểm AT. C/m IH là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AHK

$\Delta AHT$ vuông ở H có I là trung điểm AT.$\Rightarrow \widehat{AHI}=\widehat{HAI}$

Gọi F là trung điểm AK

$\Delta AHK$ vuông ở H có F là trung điểm AK.$\Rightarrow \widehat{AHF}=\widehat{HAF}$

Mà $\widehat{IAH}+\widehat{HAF}=90^{o}$ ( do AT vuông AK)

$\Rightarrow \widehat{IAH}+\widehat{AHF}=90^{o}$

$\Rightarrow$ IH vuông HF

Vậy IF là tiếp tuyến