Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $L$ là điểm Lemoire.$M$ là trung điểm $BC$.$AM$ cắt $(O)$ tại $N$.$NH$ vuông góc với $BC$ ($H$ thuộc $BC$). $K$ đối xứng với $H$ qua $N$. $AL$ cắt $(O)$ tại $T$. Chứng minh rằng: $LM//KT$
Gọi $X$ là trung điểm của $TH$. $D$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. $R$ là trung điểm của $AD$. $S$ là hình chiếu của $T$ trên $BC$
Hai tính chất sau là khá quen thuộc với điểm $Lemoine$ mình chỉ nêu ra và không chứng minh
1. $L,R,M$ thẳng hàng
2. $TN \parallel BC \Rightarrow $ tam giác $TNH$ vuông tại $N$, $TSHN$ là hình chữ nhật
Ta có: $NX \parallel TK$ (đường trung bình) nên chỉ cần chứng minh $NX \parallel MR$
Để ý $NT \parallel BC$ và $NH \parallel AD$(cùng vuông góc với $BC$)
Lại có: $\overrightarrow{NX}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{NT}+\overrightarrow{NH}\right)$ và $\overrightarrow{MR}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DR}=\overrightarrow{MD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DA}$
Do đó để chứng minh $NX \parallel MR$ thì ta chỉ cần chứng minh: $\dfrac{2MD}{NT}=\dfrac{DA}{NH}$
Áp dụng định lý $Thales$ thì $\dfrac{DA}{NH}=\dfrac{MD}{MH}$
Do đó chỉ cần chứng minh $NT=2MH \Leftrightarrow HS=2HM \Leftrightarrow MS=MH$ (đúng vì $BTNC$ là hình thang cân)
Vậy ta có điều phải chứng minh