Chủ đề này có 5 trả lời

[lvd98vp]

 

 

\[0 < x \le 1,0 < y \le 1,0 < z \le 1\]

 

Chứng mình rằng

 

\[\left( {1 + \frac{1}{{xyz}}} \right)\left( {x + y + z} \right) \ge 3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lvd98vp: 20-02-2016 - 20:28

[quangtq1998]

\[0 < x \le 1,0 < y \le 1,0 < z \le 1\]
 
Chứng mình rằng
 
\[\left( {1 + \frac{1}{{xyz}}} \right)\left( {x + y + z} \right) \ge 3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\]

$(x-1)(y-1) \ge 0 \Rightarrow xy + 1 \ge x+y $
Tương tự $ yz + 1 \ge y+z $ và $ zx + 1 \ge z+x $
Cộng các vế vào ta được $ xy+yz+xz +3 \ge 2(x+y+z) $
Vì $ xyz \leq 1 $ nên $ 2(x+y+z) \ge ( 1+xyz)(x+y+z) $
Do đó : $xy+yz+xz +3 \ge (1+xyz)(x+y+z) $ $ \Leftrightarrow \[\left( {1 + \frac{1}{{xyz}}} \right)\left( {x + y + z} \right) \leq 3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\] $
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 21-02-2016 - 14:43

[hoangson2598]

$(x-1)(y-1) \ge 0 \Rightarrow xy + 1 \ge x+y $
Tương tự $ yz + 1 \ge y+z $ và $ zx + 1 \ge z+x $
Cộng các vế vào ta được $ xy+yz+xz +3 \ge 2(x+y+z) $
Vì $ xyz \leq 1 $ nên $ 2(x+y+z) \ge ( 1+xyz)(x+y+z) $
Do đó : $xy+yz+xz +3 \ge (1+xyz)(x+y+z) $ $ \Leftrightarrow \[\left( {1 + \frac{1}{{xyz}}} \right)\left( {x + y + z} \right) \leq 3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\] $
 

Chia hai vế cho xyz đoạn cuối thì $\frac{3}{xyz}\geq 3$ mà. Không suy được.

[lvd98vp]

Có bạn hướng dẫn bảo mình xét bđt phụ nhưng chưa biết dùng ra sao \[\frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {y^2}}} \le \frac{2}{{1 + xy}}\]

[lvd98vp]

Mà nếu chứng mình tương đương thì hay cân bằng về bậc .

[tranductucr1]

 

 

 

\[0 < x \le 1,0 < y \le 1,0 < z \le 1\]

 

Chứng mình rằng

 

\[\left( {1 + \frac{1}{{xyz}}} \right)\left( {x + y + z} \right) \ge 3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\]

 

Đặt $x+y+z=p$ ;$xy+yz+xz=q$ ;$xyz=r$
ta có bất đẳng thức tương đương với 
$rp+p \geq 3r+q$ => $r(p-3)+p-q \geq 0$

ta có $r \leq \frac{p^3}{27}$  và $ q \leq \frac{p^2}{3}$ 

=> $r(p-3)+p-q \geq \frac{p^3}{27}*(p-3)+p-\frac{p^2}{3}=\frac{p}{3}*(p^3-3p^2-9p+27)=\frac{p}{3}*(p-3)^{2}*(p+3) \geq 0$

Lưu ý : $p=x+y+z \leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 21-02-2016 - 19:41