TRƯỜNG PTTH CHUYÊN KHTN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10
BỘ MÔN CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC 2015-2016
Thời gian làm bài : 210 phút
(Đợt 3, ngày 24/02/2016)
Câu 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$, luôn tồn tại duy nhất 2 số nguyên dương $m_k$ và $n_k$ sao cho
$$(2+ \sqrt{3})^k=m_k+n_k\sqrt{3}$$
hơn nữa nếu $k$ là số lẻ thì $m_k -1$ là số chính phương.
Câu 2. Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ $n$ sao cho
$$\sigma (n) =n^2-14n+9$$
với $\sigma(n)$ là tổng tất cả các ước nguyên dương của $n$.
Câu 3. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho
$$P^2(x)+P(-x)+2=P(x^2)+3P(x)$$
với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Câu 4. Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và P,Q là hai điểm đẳng giác nằm trong tam giác. Gọi (X) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. PB,PC lần lượt cắt CA,AB tại E,F.
1/ Chứng minh rằng P nằm trên (X) khi và chỉ khi Q nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC.
2/ QB,QC cắt (O) lần lượt tại M,N khác B,C. Trên đường thẳng BC lấy các điểm S,T sao cho AS||PC, AT||PB. Gọi K,L lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác CMS và BNT. Gọi BK cắt CL tại D. AP cắt EF tại R. Cho P nằm trên (X), chứng minh rằng $\angle BDC = \angle BRC + \angle BAC$.
Câu 5. Trên mặt phẳng toạ độ ta xét tất cả các hình chữ nhật mà các đỉnh có hai tọa độ nguyên, các cạnh song song với các trục tọa độ và diện tích của mỗi hình chữ nhật đó là số có dạng $2^k$ với $k$ là số tự nhiên nào đó. Hỏi có tồn tại hay không một cách tô màu tất cả các điểm với hai tọa độ nguyên bởi một trong hai màu Xanh, Đỏ sao cho không có hình chữ nhật nào trong số các hình xét trên có cả 4 đỉnh cùng màu ?