Chủ đề này có 3 trả lời

[Rias Gremory]

Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn $x+y+z=1$ . Tìm Max, Min của :

$P=x^2+y^2+z^2+3xyz$

[Minhnguyenthe333]

Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn $x+y+z=1$ . Tìm Max, Min của :
$P=x^2+y^2+z^2+3xyz$

Đặt $p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc$
Áp dụng bđt Schur$=>3r\geqslant \frac{3p(4q-p^2)}{9}=\frac{4q-1}{3}$
$=>P=1-2q+3r\geqslant 1-2q+\frac{4q-1}{3}=\frac{2}{3}-\frac{2q}{3}\geqslant \frac{4}{9}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$
Ta có $P\leqslant 1$.Thật vậy, BĐT$<=>q\geqslant \frac{3r}{2}$ (luôn đúng do $q\geqslant 9r$ và $x,y,z\geqslant 0$)
Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(1,0,0)$ và hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 24-02-2016 - 20:58

[quangtq1998]

Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn $x+y+z=1$ . Tìm Max, Min của :
$P=x^2+y^2+z^2+3xyz$

Ta có : $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz + \frac{1}{2}(x+y+z)(3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)^2 ) $
.
$\Rightarrow 3xyz = (x^3 + y^3 + z^3) + \frac{1}{2} - \frac{3}{2}(x^2 + y^2 + z^2) $
.
$\Rightarrow P = \sum ( x^3 -\frac{1}{2}x^2 ) + \frac{1}{2} $
.
Ta có $ t^3 - \frac{1}{2} t^2 + \frac{1}{54} = (t-\frac{1}{3})^2(t+ \frac{1}{6} ) \ge 0 $
.
Nên $ t^3 - \frac{1}{2}t^2 \ge \frac{-1}{54} $
.
Nên $T \ge \frac{4}{9} $
.
Dấu "=" xảy ra khi $x = y= z = \frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 25-02-2016 - 20:51

[quangtq1998]

Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn $x+y+z=1$ . Tìm Max, Min của :
$P=x^2+y^2+z^2+3xyz$

Không mất tính tổng quát, giả sử $z = min(x,y,z) \Rightarrow 3z \leq  1 $

.
$f(0, (x+y), z) = (x+y)^2 + z^2 = x^2 +y^2 + z^2 + xy .2 \ge P $

.
Mà $f(0,x+y,z ) = 2z(z-1) + 1 \leq 1 $ $\Rightarrow P \leq 1 $

.
Dấu "=" xảy ra chả hạn $z=y=0, x=1$

.
.
Xét $P-f(\frac{x+y}{2}, \frac{x+y}{2}, z )= \frac{1}{4} ( x-y)^2( 2-3z) \ge 0 $

.
$ \Rightarrow P \ge f(\frac{x+y}{2}, \frac{x+y}{2}, z ) = \frac{1}{2}(1-z)^2+z^2 + \frac{3}{4}(1-z)^2z =\frac{1}{4} (z+\frac{2}{3})(z-\frac{1}{3})^2 + \frac{4}{9} \ge \frac{4}{9}$

.
Dấu "=" xảy ra khi $ x=y=z=\frac{1}{3} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 25-02-2016 - 20:56