Nguồn : Thầy Võ Quốc Bá Cẩn
Đề kiểm tra đội tuyển toán THPT chuyên Hà Nội Amsterdam -Vòng 2-Năm học 2015-2016
#1
Posted 28-02-2016 - 12:30
#2
Posted 28-02-2016 - 14:15
ĐỀ BÀI
Câu $1$,
$1$,
Cho $x=\sqrt[3]{2}+1$ . Không dùng máy tính cầm tay hãy tính giá trị của biểu thức $P=5x^5-15x^4+14x^3-12x^2-3x+2016$.
$2$,
Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng $a+b$ không thể là số nguyên tố.
Câu $2$,
$1$,
Giải phương trình : $3x^2+15x+22-(x^2+x+18)\sqrt{3x+1}=0$
$2$,
Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+2x=1 \\ xy+y+2x+x^2=y^2 \end{matrix}\right.$
Câu $3$,
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức : $P=\frac{1+a^3}{a+ab^2}+\frac{1+b^3}{1+bc^2}+\frac{1+c^3}{1+ca^2}$
Câu $4$ ,
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có các đường cao $AE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$ . Gọi $P$ là điểm thuộc cung nhỏ $BC$ ( $P$ khác $B,C$). $M,N$ lần lượt là hình chiếu của $P$ trên $AB,AC$. Chứng minh rằng :
$1$, $CotA+CotB+CotC\geq \sqrt{3}$
$2$, $OB\perp EF$ và $\frac{BH}{BO}=2\frac{EF}{AC}$
$3$, Đường thẳng $MN$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $HP$
Câu $5$,
$1$, Tìm các số tự nhiên $x,y$ thỏa mãn $3^x-y^3=1$
$2$, Cho tam giác $ABC$ nhọn có $\widehat{BAC}=60^0,BC=2\sqrt{3}cm$. Bên trong tam giác này cho $13$ điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong $13$ điểm ấy luôn tìm được $2$ điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn $1cm$
- hoctrocuaHolmes, tpdtthltvp, quanganhthanhhoa and 4 others like this
#3
Posted 28-02-2016 - 14:25
Câu $4$ ,
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có các đường cao $AE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$ . Gọi $P$ là điểm thuộc cung nhỏ $BC$ ( $P$ khác $B,C$). $M,N$ lần lượt là hình chiếu của $P$ trên $AB,AC$. Chứng minh rằng :
$1$, $CotA+CotB+CotC\geq \sqrt{3}$
Ta có VT=$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4S}$
Ta có $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bcCosA$
$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(b^{2}+c^{2})-2bcCosA$
$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4bc-2bcCosA$
$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4bc-2bc(CosA+\sqrt{3}SinA)+2bc\sqrt{3}SinA$
$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2bc(2-CosA-\sqrt{3}CosA)+4\sqrt{3}S$ (S là d tích)
Áp dung bđt Bunhiacopxki ta có $(CosA+\sqrt{3}SinA)^{2}\leq (1+3)(CosA^{2}+SinA^{2})=4$
$\Rightarrow CosA+\sqrt{3}SinA\leq 2$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4\sqrt{3}S$
$\Rightarrow CotA+CotB+CotC\geq \sqrt{3}$
$\Rightarrow ĐPCM$
Một kết quả mạnh hơn : $a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$
Edited by Rias Gremory, 28-02-2016 - 14:26.
- hoctrocuaHolmes, vungocquanghuy2000, quanganhthanhhoa and 1 other like this
#4
Posted 28-02-2016 - 15:16
ĐỀ BÀI
Câu $1$,
$1$,
Cho $x=\sqrt[3]{2}+1$ . Không dùng máy tính cầm tay hãy tính giá trị của biểu thức $P=5x^5-15x^4+14x^3-12x^2-3x+2016$.
$2$,
Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng $a+b$ không thể là số nguyên tố.
Câu $2$,
$1$,
Giải phương trình : $3x^2+15x+22-(x^2+x+18)\sqrt{3x+1}=0$
$2$,
Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+2x=1 \\ xy+y+2x+x^2=y^2 \end{matrix}\right.$
Câu $3$,
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức : $P=\frac{1+a^3}{a+ab^2}+\frac{1+b^3}{1+bc^2}+\frac{1+c^3}{1+ca^2}$
Câu $4$ ,
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có các đường cao $AE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$ . Gọi $P$ là điểm thuộc cung nhỏ $BC$ ( $P$ khác $B,C$). $M,N$ lần lượt là hình chiếu của $P$ trên $AB,AC$. Chứng minh rằng :
$1$, $CotA+CotB+CotC\geq \sqrt{3}$
$2$, $OB\perp EF$ và $\frac{BH}{BO}=2\frac{EF}{AC}$
$3$, Đường thẳng $MN$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $HP$
Câu $5$,
$1$, Tìm các số tự nhiên $x,y$ thỏa mãn $3^x-y^3=1$
$2$, Cho tam giác $ABC$ nhọn có $\widehat{BAC}=60^0,BC=2\sqrt{3}cm$. Bên trong tam giác này cho $13$ điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong $13$ điểm ấy luôn tìm được $2$ điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn $1cm$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow (a+b)c=ab$
Gỉa sử $a+b$ là số nguyên tố. Suy ra $a+b=ab$(vi $a+b>c)
$\Leftrightarrow (a-1)(b-1)=1$$\Leftrightarrow a=b=2$
$a+b=4$. Vậy a+b ko thể là SNT
#5
Posted 28-02-2016 - 15:52
1)
$2(x^{2}+x+18)+x^{2}+13x-14-(x^{2}+x+18)\sqrt{3x+1}=(x^{2}+x+18)(2-\sqrt{3x+1})+(x^{2}+14x-x-14)=(x^{2}+x+18)\frac{4-3x-1}{\sqrt{2}+\sqrt{3x+1}}+x(x+14)-(x+14)=(x^{2}+x+18)\frac{3-3x}{2+\sqrt{3x+1}}+(x-1)(x+14)=(x-1)(x+14-\frac{3(x^{2}+x+18)}{2+\sqrt{3x+1}})=0\Rightarrow ...$
Edited by anhtukhon1, 28-02-2016 - 15:54.
#6
Posted 28-02-2016 - 16:31
Câu $5$,
$1$, Tìm các số tự nhiên $x,y$ thỏa mãn $3^x-y^3=1$
$pt\Leftrightarrow 3^{x}=y^{3}+1=(y+1)(y^{2}-y+1)$
Đến đây thì dễ dàng rồi!
- quanganhthanhhoa and Bui Thao like this
$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$
#7
Posted 28-02-2016 - 17:29
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow (a+b)c=ab$
Gỉa sử $a+b$ là số nguyên tố. Suy ra $a+b=ab$(vi $a+b>c)
$\Leftrightarrow (a-1)(b-1)=1$$\Leftrightarrow a=b=2$
$a+b=4$. Vậy a+b ko thể là SNT
Đoạn này sai,từ $a+b$ là số nguyên tố nếu trừ khả năng $a+b=2$ ra thì $a+b$ lẻ do đó $a,b$ có 1 số chẵn và 1 số lẻ khi đó làm sao bạn có được $a+b=ab$ với 2 vế khác nhau về tính chẵn lẻ?
- ngochapid likes this
#8
Posted 28-02-2016 - 18:02
ĐỀ BÀI
Câu $1$,
$1$,
Cho $x=\sqrt[3]{2}+1$ . Không dùng máy tính cầm tay hãy tính giá trị của biểu thức $P=5x^5-15x^4+14x^3-12x^2-3x+2016$.
$2$,
Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng $a+b$ không thể là số nguyên tố.
Câu $2$,
$1$,
Giải phương trình : $3x^2+15x+22-(x^2+x+18)\sqrt{3x+1}=0$
$2$,
Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+2x=1 \\ xy+y+2x+x^2=y^2 \end{matrix}\right.$
Câu $3$,
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức : $P=\frac{1+a^3}{a+ab^2}+\frac{1+b^3}{1+bc^2}+\frac{1+c^3}{1+ca^2}$
$2$, Cho tam giác $ABC$ nhọn có $\widehat{BAC}=60^0,BC=2\sqrt{3}cm$. Bên trong tam giác này cho $13$ điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong $13$ điểm ấy luôn tìm được $2$ điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn $1cm$
Câu 3:
Áp dụng AM-GM:$ab^{2}\leq \frac{a^{3}+b^3+b^3}{3}=\frac{a^{3}+2b^3}{3}\Rightarrow 1+ab^{2}\leq \frac{a^{3}+2b^3+3}{3}\Rightarrow \frac{1+a^3}{1+ab^2}\geq \frac{3(1+a^3)}{a^{3}+2b^3+3}$
Tương tự $P\geq \sum \frac{3(1+a^3)}{a^{3}+2b^3+3}$
Đặt $a^{3}=x;b^3=y;c^3=z(x,y,z>0)$,áp dụng Cauchy-Schwarz ta có
$\sum \frac{3(1+x)^{2}}{(x+2y+3)(x+1)}\geq \frac{3(x+y+z+3)^{2}}{(x+y+z)^{2}+6(x+y+z)+9}=\frac{3(x+y+z+3)^{2}}{(x+y+z+3)^{2}}=3$
Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c$
- anhtukhon1, tranductucr1 and quanganhthanhhoa like this
#9
Posted 28-02-2016 - 19:19
ĐỀ BÀI
Câu $1$,
$1$,
Cho $x=\sqrt[3]{2}+1$ . Không dùng máy tính cầm tay hãy tính giá trị của biểu thức $P=5x^5-15x^4+14x^3-12x^2-3x+2016$.
$x=\sqrt[3]{2}+1 \Leftrightarrow x-1=\sqrt[3]{2}$
$\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )^{3}=2\Leftrightarrow x^{3}-3x^{2}+3x-1=2$
$\Leftrightarrow x^{3}-3x^{2}+3x-3=0$
$P=5x^{5}-15x^{4}+14x^{3}-12x^{2}-3x+2016$
$\Leftrightarrow P=\left ( x^{3}-3x^{2}+3x-3 \right )\left ( 5x^{2}-1 \right )+2013$
do $x^{3}-3x^{2}+3x-3=0$ $\Rightarrow P=2013$
- tpdtthltvp and Bui Thao like this
#10
Posted 28-02-2016 - 21:08
1)
$2(x^{2}+x+18)+x^{2}+13x-14-(x^{2}+x+18)\sqrt{3x+1}=(x^{2}+x+18)(2-\sqrt{3x+1})+(x^{2}+14x-x-14)=(x^{2}+x+18)\frac{4-3x-1}{\sqrt{2}+\sqrt{3x+1}}+x(x+14)-(x+14)=(x^{2}+x+18)\frac{3-3x}{2+\sqrt{3x+1}}+(x-1)(x+14)=(x-1)(x+14-\frac{3(x^{2}+x+18)}{2+\sqrt{3x+1}})=0\Rightarrow ...$
bạn xử lý trường hợp hai như thế nào? lưu ý là không được sử dụng máy tính cầm tay
thật ra ở th2 vẫn có nghiệm là 1?
Edited by ngochapid, 28-02-2016 - 21:27.
#11
Posted 29-02-2016 - 12:52
1)
$2(x^{2}+x+18)+x^{2}+13x-14-(x^{2}+x+18)\sqrt{3x+1}=(x^{2}+x+18)(2-\sqrt{3x+1})+(x^{2}+14x-x-14)=(x^{2}+x+18)\frac{4-3x-1}{\sqrt{2}+\sqrt{3x+1}}+x(x+14)-(x+14)=(x^{2}+x+18)\frac{3-3x}{2+\sqrt{3x+1}}+(x-1)(x+14)=(x-1)(x+14-\frac{3(x^{2}+x+18)}{2+\sqrt{3x+1}})=0\Rightarrow ...$
Chắc bạn bị nhầm, bài này có nghiệm kép $1$ và nghiệm $\frac{8}{3}$ . Liên hợp 2 nghiệm $1$ và $\frac{8}{3}$ trước rồi giải quyết nghiệm $1$ còn lại , nó khá dễ so với việc liên hợp $3$ nghiệm , còn bài của bạn thì chưa hoàn chỉnh !
- anhtukhon1 likes this
#12
Posted 29-02-2016 - 13:03
Chắc bạn bị nhầm, bài này có nghiệm kép $1$ và nghiệm $\frac{8}{3}$ . Liên hợp 2 nghiệm $1$ và $\frac{8}{3}$ trước rồi giải quyết nghiệm $1$ còn lại , nó khá dễ so với việc liên hợp $3$ nghiệm , còn bài của bạn thì chưa hoàn chỉnh !
lúc ý em đi học vội quá
Em giải nốt
$(x+14)(\sqrt{3x+1}+2)=3(x^{2}+x+18)\Leftrightarrow (x+14)(\sqrt{3x+1}-2)=3x^{2}-x-2\Leftrightarrow (x+14)\frac{3x-3}{\sqrt{3x+1}+2}-(x-1)(3x+2)=0\Leftrightarrow (x-1)(\frac{3(x+14)}{\sqrt{3x+1}+2}-(3x+2))=0\Rightarrow ...\Rightarrow 3x+42=(3x+2)(\sqrt{3x+1}+2)\Leftrightarrow -12x+32=(3x+2)\frac{3x-8}{\sqrt{3x+1}+3}\Leftrightarrow (3x-8)\frac{3x+2}{\sqrt{3x+1}+3}+4$
#13
Posted 29-02-2016 - 13:06
$2$,
Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+2x=1 \\ xy+y+2x+x^2=y^2 \end{matrix}\right.$
$(1)-2.(2)$ ta được :
$(y-x-1)(3y+x+1)=0$
Lề : Tìm được cái này nhanh chóng thì có một thủ thuật nhỏ , sẽ chia sẻ cái thủ thuật này trong time tới
- Dam Quan Son likes this
#14
Posted 29-02-2016 - 17:21
$(1)-2.(2)$ ta được :
$(y-x-1)(3y+x+1)=0$
Lề : Tìm được cái này nhanh chóng thì có một thủ thuật nhỏ , sẽ chia sẻ cái thủ thuật này trong time tới
Bài này thự ra là người ta đổi x thành x+1 cho phương trình thêm rắc rối thôi.khi mình ặt x+1=a thì thì hệ sẽ thành hệ đẳng cấp bình thường.đơn giản mà
- anhtukhon1, guongmatkhongquen and vungocquanghuy2000 like this
#16
Posted 29-02-2016 - 18:23
Bài này thự ra là người ta đổi x thành x+1 cho phương trình thêm rắc rối thôi.khi mình ặt x+1=a thì thì hệ sẽ thành hệ đẳng cấp bình thường.đơn giản mà
Thủ thuật không chỉ xoay quanh những dạng này bạn nhé
Quotes: mọi hệ bậc hai thuần túy như này có thể giải tại đây
UCT thì hơi rắc rối và mất time một tí , nếu thi đại học thì nên tập trung vào câu bất hơn chút chút thời gian , nên nếu gặp hệ kiểu này , dùng thủ thuật nhỏ Casio thì sẽ tiện hơn !!
#17
Posted 29-02-2016 - 18:25
Thủ thuật không chỉ xoay quanh những dạng này bạn nhé
UCT thì hơi rắc rối và mất time một tí , nếu thi đại học thì nên tập trung vào câu bất hơn chút chút thời gian , nên nếu gặp hệ kiểu này , dùng thủ thuật nhỏ Casio thì sẽ tiện hơn !!
thủ thuật là gì vậy, bạn có thể chia sẻ được không
#18
Posted 29-02-2016 - 19:13
$1$, Tìm các số tự nhiên $x,y$ thỏa mãn $3^x-y^3=1$
Mình sẽ giải trọn vẹn câu PTNN
Nhận xét 1: $y-2 \vdots 3 $
Ta có $x=v_3(y^3+1) = v_3(y+1) + v_3(3) = v_3(y+1)+1$
Do đó, ta có $3^x = y^3+1= (y+1)(y^2-y+1)$
Khi đó, ta có $y+1 = 3^a $, và $y^2-y+1=3^b $ với $a+b=x $
Mà $v_3(y+1) =x-1 => y^2-y+1= 3=> y=2 $
Thử lại thõa
Do đó , $(x,y)=(2;3) $
- thaibuithd2001 likes this
#19
Posted 29-02-2016 - 19:46
thủ thuật là gì vậy, bạn có thể chia sẻ được không
Hồi trưa mình đã soạn xong 1 mảng rồi , khi nào xong thì sẽ chia sẻ cho cả diễn đàn luôn !!
- tpdtthltvp likes this
#20
Posted 02-03-2016 - 15:09
ai làm được câu c hình chỉ mình với
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users