Chủ đề này có 1 trả lời

[NAGATOPain]

Tìm tất cả đa thức A thỏa mãn: 

 

$A(x) + A(\frac{1}{x}) = x + \frac{1}{x}, \forall x \neq 0$

 

[superpower]

Tìm tất cả đa thức A thỏa mãn: 

 

$A(x) + A(\frac{1}{x}) = x + \frac{1}{x}, \forall x \neq 0$

Gọi bậc của đa thức $A$ là $n$

Khi đó ta có bậc của đa thức $A(\frac{1}{x}) = -n $

TH1: $n >0$ , khi đó $n > -n $

Khi đó, ta có bậc của VT là bậc n, bậc của vế phải là bậc 1

Do đó $n=1 $

TH2: $n<0$, khi đó $-n > n $

Khi đó, ta có bậc của VT là bậc n, bậc của VP là bậc 1

Do đó $n=-1$

TH3: $n=0$ suy ra $A$ là đa thức hằng, vô lý

Do đó 

$A(x) = ax+ b $ hoặc $A(x) = \frac{a}{x} + b $

Thay vô đồng nhất hệ số, ta được

$A(x) = x ; A(x) = \frac{1}{x} $