Chủ đề này có 1 trả lời

[giaosutoanhoc]

Với $a,b,c>0$, chứng minh $\frac{ab+bc+ca+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{a+b+c+\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\leq \frac{a+b+c}{3}$

[Nguyenhuyen_AG]

Với $a,b,c>0$, chứng minh $\frac{ab+bc+ca+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{a+b+c+\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\leq \frac{a+b+c}{3}$

 

Ta viết bất đẳng thức trên lại như sau

\[(a+b+c)^2+(a+b+c)\sqrt{a^2+b^2+c^2} \geqslant 3(ab+bc+ca)+3\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2},\]

hay là

\[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+(a+b+c)\sqrt{a^2+b^2+c^2} \geqslant 3\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}.\]

Bình phương hai vế và thu gọn lại

\[2\sum a\left(\sum a^2 - \sum bc\right) \sqrt{\sum a^2}+ 2\left [\sum a^4+abc(a+b+c)-2\sum b^2c^2 \right ] \geqslant 0.\]

Theo bất đẳng thức Schur bậc bốn và bất đẳng thức AM-GM, ta có

\[\sum a^4+abc(a+b+c) \geqslant \sum bc(b^2+c^2) \geqslant 2\sum b^2c^2.\]

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 02-03-2016 - 12:39