Chủ đề này có 4 trả lời

[quangtq1998]

Cho $    a,b,c\in [0;\frac{2}{3}] , a+b+c = 1$
Tìm giá trị lớn nhất của 
$ P  = abc - 9(ab+bc+ca)^3 $

[superpower]

Cho $    a,b,c\in [0;\frac{2}{3}] , a+b+c = 1$
Tìm giá trị lớn nhất của 
$ P  = abc - 9(ab+bc+ca)^3 $

Bài này ta làm như sau

Theo đề bài, ta suy ra được $(a-\frac{2}{3})(b-\frac{2}{3})(c-\frac{2}{3}) \leq 0 <=> abc \leq \frac{2}{3} (ab+bc+ca) -\frac{1}{9} $

Do đó, P $\leq  \frac{2}{3}.(ab+bc+ca) -\frac{1}{9} -9(ab+bc+ca)^{3} $

Ta có theo bđt AM-GM thì $3(ab+bc+ca) \leq (a+b+c)^2 => ab+bc+ca \leq \frac{1}{3} $

Xét hàm số $f(t) = \frac{2}{3}t -9t^3 -\frac{1}{9} $ trên $[0,\frac{1}{3}]$

Ta có $f'(t) = \frac{2}{3} -27t^2 $

          $f'(t)=0 <=> t^2 = \frac{2}{81} => t=\frac{\sqrt{2}}{9} ; t=\frac{-\sqrt{2}}{9} $

Lập bảng biến thiên, ta được

$f(t) \leq f(\frac{\sqrt{2}}{9}) $

Tới đây dễ rồi

[quangtq1998]

Bài này ta làm như sau

Theo đề bài, ta suy ra được $(a-\frac{2}{3})(b-\frac{2}{3})(c-\frac{2}{3}) \leq 0 <=> abc \leq \frac{2}{3} (ab+bc+ca) -\frac{1}{9} $

Do đó, P $\leq  \frac{2}{3}.(ab+bc+ca) -\frac{1}{9} -9(ab+bc+ca)^{3} $

Ta có theo bđt AM-GM thì $3(ab+bc+ca) \leq (a+b+c)^2 => ab+bc+ca \leq \frac{1}{3} $

Xét hàm số $f(t) = \frac{2}{3}t -9t^3 -\frac{1}{9} $ trên $[0,\frac{1}{3}]$

Ta có $f'(t) = \frac{2}{3} -27t^2 $

          $f'(t)=0 <=> t^2 = \frac{2}{81} => t=\frac{\sqrt{2}}{9} ; t=\frac{-\sqrt{2}}{9} $

Lập bảng biến thiên, ta được

$f(t) \leq f(\frac{\sqrt{2}}{9}) $

Tới đây dễ rồi

 dấu "=" xảy ra khi nào nhỉ  

[superpower]

 dấu "=" xảy ra khi nào nhỉ  

Là nghiệm của PT viet bậc 3 đó bạn

Có $a+b+c ; ab+bc+ca, abc $, bụp viet là ra

[quangtq1998]

Bài này ta làm như sau
Theo đề bài, ta suy ra được $(a-\frac{2}{3})(b-\frac{2}{3})(c-\frac{2}{3}) \leq 0 <=> $
$abc \leq \frac{2}{3} (ab+bc+ca) -\frac{1}{9} $
Do đó, P $\leq  \frac{2}{3}.(ab+bc+ca) -\frac{1}{9} -9(ab+bc+ca)^{3} $
Ta có theo bđt AM-GM thì $3(ab+bc+ca) \leq (a+b+c)^2 => ab+bc+ca \leq \frac{1}{3} $
Xét hàm số $f(t) = \frac{2}{3}t -9t^3 -\frac{1}{9} $ trên $[0,\frac{1}{3}]$
Ta có $f'(t) = \frac{2}{3} -27t^2 $
          $f'(t)=0 <=> t^2 = \frac{2}{81} => t=\frac{\sqrt{2}}{9} ; t=\frac{-\sqrt{2}}{9} $
Lập bảng biến thiên, ta được
$f(t) \leq f(\frac{\sqrt{2}}{9}) $
Tới đây dễ rồi

Có lẽ mình nghĩ là bạn nhầm ở đoạn này , thảo nào không ra dấu "=" 
Đúng khi khai triển ra là :
$0\leq abc \leq \frac{2}{3} ( ab+bc+ca) - \frac{4}{27} \Rightarrow ab+bc+ca \in [\frac{2}{9} ; \frac{1}{3}]$$