Chủ đề này có 7 trả lời

[SuperStar2000]

Chứng minh:

 $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}} \ge \frac{2}{\sqrt{1+xy}}, xy \ge 1$

 

[royal1534]

Chứng minh:

 $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}} \ge \frac{2}{\sqrt{1+xy}}, xy \ge 1$

 

 Áp dụng bđt Cauchy-Swarchz ta có:

$(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}})^{2}\leq 2(\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}})$

Ta quy bài toán về chứng minh$ \frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \leq \frac{2}{1+xy}$

 Tuy nhiên bđt trên  $\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2(xy-1)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)}\geq 0$ (luôn đúng vì $xy \geq 1$)

Ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$

[laquochiep3665]

ta có $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\geq \frac{4}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}}$

mà $(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2})^2\leq (1^2+1^2)(2+x^2+y^2)$

lại có $x^2+y^2\geq 2xy$

suy ra $\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}\leq \sqrt{2}.\sqrt{2+2xy}\Leftrightarrow VT\leq 2\sqrt{1+xy}\Rightarrow$ đpcm.

[nguyenduy287]

bạn quochiep3665 làm bị sai rồi  như vậy là ngược dấu chỗ hàng 2 hàng 3 rồi ..........!!!!!

[laquochiep3665]

thì sửa dấu lại thôi!

[minhthong29]

 Áp dụng bđt Cauchy-Swarchz ta có:
$(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}})^{2}\leq 2(\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}})$
Ta quy bài toán về chứng minh$ \frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \leq \frac{2}{1+xy}$
 Tuy nhiên bđt trên  $\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2(xy-1)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)}\geq 0$ (luôn đúng vì $xy \geq 1$)

Ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$

Bài này có sai không, mình thấy có vẻ bạn làm ng rồi

[quangtq1998]

Chứng minh:

 $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}} \ge \frac{2}{\sqrt{1+xy}}, xy \ge 1$

Bất đẳng thức không đúng, chả hạn $x = 0.1, y  = 10 $ Có lẽ nên sửa lại thành : 

 

 $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}} \leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}},0\leq  xy \leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 06-03-2016 - 23:48

[ineX]

bất đẳng thức này đã có tại đây