Chủ đề này có 2 trả lời

[phamquyen134]

1/ Cho A= $1^{2011}+2^{2011}+3^{2011}+...+2010^{2011}$ và B =$\frac{2010.2011}{2}$. C/m A chia hết cho B?

2/ Cho 3 số dương a, b, c tm; $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. C/m: $\frac{a^{2}}{1+b-a}+\frac{b^{2}}{1+c-b}+\frac{c^{2}}{1+a-c}\geq 1$ ?

[haichau0401]

2/ Cho 3 số dương a, b, c tm; $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. C/m: $\frac{a^{2}}{1+b-a}+\frac{b^{2}}{1+c-b}+\frac{c^{2}}{1+a-c}\geq 1$ ?

Ta có:

$\frac{a^{2}}{1+b-a}=\frac{a^4}{a^2+a^2b-a^3}$

Tương tự cộng vế theo vế:

$VT\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)+(a^2b+b^2c+c^2a)-(a^3+b^3+c^3)}$

Dễ chứng minh đc

$a^2b+b^2c+c^2a\leq a^3+b^3+c^3$ (phương pháp $AM-GM$)

Vậy ta có $dpcm$

[tpdtthltvp]

1/ Cho A= $1^{2011}+2^{2011}+3^{2011}+...+2010^{2011}$ và B =$\frac{2010.2011}{2}$. C/m A chia hết cho B?

$A\vdots B\Leftrightarrow 2A\vdots 2010.2011$ mà $(2010,2011)=1$ nên ta sẽ chứng minh $2A\vdots 2010$ và $2A\vdots 2011$.

$\bullet$ Chứng minh $2A\vdots 2010$:

$2A=2.(1^{2011}+2^{2011}+\cdots +2010^{2011})=(1^{2011}+2009^{2011})+(2^{2011}+2008^{2011})+\cdots +(2009^{2011}+1^{2011})+2.2010^{2011}\vdots 2010$

( Do $a^n+b^n\vdots a+b$ với $n$ lẻ).

$\bullet$ Chứng minh $2A\vdots 2011$:

$2A=(1^{2011}+2010^{2011})+(2^{2011}+2009^{2011})+\cdots +(2009^{2011}+2^{2011})+(2010^{2011}+1^{2011})\vdots 2011$

Do đó, $2A\vdots 2010.2011$ nên $A\vdots \frac{2010.2011}{2}=B$ (đpcm).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 07-03-2016 - 19:37