1 reply to this topic

[thaoyuki123]

Cho hình vuông ABCD. Hai điểm M,N lần lượt thay đổi trên hai cạnh BC,CD sao cho góc MAN=45⁰. BD cắt AM,AN tương ứng tại P,Q.

a. CM các tứ giác ABMQ, ADNP là các tứ giác nội tiếp

b. Gọi H là giao điểm của MQ, NP. Chứng minh: AH vuông góc với MN

c. CM: Khi M,N thay đổi, đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định 

d. Tìm vị trí điểm M trên BC sao cho diện tích tứ giác MNPQ nhỏ nhất

[foollock holmes]

d)ta có $ S_{PQNM }=PN.QM.sinPHM=AP.AQ.sinPAQ=S_{APQ} \implies S_{MNQP}=\frac{S_{AMN}}{2}=\frac{AJ.MN}{4}=\frac{AB.MN}{4} \space (J=AH \cap MN)$

vậy chỉ cần tìm M sao cho MN min 

ta có $BC+CD =BM+MC+CN+NQ= MC+NC+MJ+NJ=MC+NC+MN \leq \sqrt{2(MC^2+NC^2)}+MN (BDT AM-GM) =(\sqrt{2}+1)MN$ 

vậy $MN\geq  \frac{2BC}{ \sqrt{2}+1}$ 

dấu bằng xảy ra khi  $MB= \frac{BC}{ \sqrt{2}+1}$

Edited by foollock holmes, 09-03-2016 - 12:50.