2 replies to this topic

[ngocsonthuy]

Cho a,b,c là các số thực dương thoã mãn abc=1. Chứng minh rằng :

 $2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 7(a+b+c)-3$.

[Hoang Dinh Nhat]

Bất đẳng thức $\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)+4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-7(a+b+c)+3\geq 0$

Đặt $VT$ là $P$

Ta có BĐT phụ: $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$

$P\geq \frac{(a+b+c)(2(a+b+c)-21)}{3}+4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+3\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}(6\sqrt[3]{abc}-21)}{3}+\frac{12}{\sqrt[3]{abc}}+3=-15+12+3=0$

[God Guys]

từ gt $abc$ =1 $\Rightarrow$ $a+b+c$ $\geq$ 3 

$LHS$ - $RHS$ = $2(a^2+b^2+c^2)$ + $4(ab+bc+ca))-$RHS$ = $2(a+b+c)^2$-$7(a+b+c)$+3= $(a+b+c-1)(a+b+c-3)$  $\geq$ 0

$\Rightarrow$ $ĐPCM$  

Edited by God Guys, 19-06-2017 - 21:29.