5 replies to this topic

[tap lam toan]

Cho $x,y,z$ là các số thực thuộc đoạn $[0;2]$ và $x+y+z=3$. Tìm GTNN của biểu thức
$$P=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$$

[quangtq1998]

Cho $x,y,z$ là các số thực thuộc đoạn $[0;2]$ và $x+y+z=3$. Tìm GTNN của biểu thức
$$P=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$$

Dùng cách xét hiệu xem sao

Không mất tính tổng quát, giả sử $c = max$ { $a,b,c $} $\Rightarrow 1\leq z \leq 2$
 
Xét $Q=\frac{1}{(x+y)^{2}+2}+\frac{1}{(x+y)^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+2}+\sqrt{(x+y)z}$

$P - Q = \frac{2xy}{(x^{2}+y^{2}+2)((x+y)^{2}+2)} -\frac{x^2}{(z^{2}+x^{2}+2)(z^{2}+2)} + R $ với $R$ là 1 biểu thức $R \ge 0 $
 

$P - Q \ge \frac{x^2}{z^2+x^2+2} . ( \frac{2}{(3-z)^2+2)}- \frac{1}{z^2+2}) = \frac{x^2}{z^2+x^2+2}. \frac{(z-1)(z+7)}{((x+y)^2+2)(z^2+2)} \ge 0 $
 

Nên $P \ge Q = \frac{1}{(3-z)^{2}+2}+\frac{1}{(3-z)^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+2}+\sqrt{(3-z)z}$


Đến đây xét hàm nhỉ

[quoccuonglqd]

Giả sử $x\geqslant y\geqslant z\Rightarrow x^{2}+z^{2}\leqslant (x+\frac{z}{2})^{2},y^{2}+z^{2}\leqslant (y+\frac{z}{2})^{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{x^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{(y+\frac{z}{2})^{2}+2}$

Lại có $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\geqslant \sqrt{(x+\frac{z}{2})(y+\frac{z}{2})}\Leftrightarrow \frac{3z^{2}}{4}+2\sqrt{xyz}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\geqslant 0$

Đổi biến $(x+\frac{z}{2},y+\frac{z}{2})\rightarrow (a,b)$

Ta tìm cực trị $\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}+\sqrt{ab}$ với $a,b \in [0,2]$, $a+b=3$

Thay $b=3-a$ và xét hàm f(a),ta tìm được cực trị tại $(a,b)=(1,2)$ hoặc $(2,1)$

Edited by quoccuonglqd, 12-03-2016 - 22:23.

[tap lam toan]

cái quan trọng là các bạn xét hàm đấy như thế nào? sao đến đoạn xét hàm ai cũng bỏ vậy

[quangtq1998]

cái quan trọng là các bạn xét hàm đấy như thế nào? sao đến đoạn xét hàm ai cũng bỏ vậy

 

Dùng cách xét hiệu xem sao

Không mất tính tổng quát, giả sử $z = max$ { $x,y,z $} $\Rightarrow 1\leq z \leq 2$
 
Xét $Q=\frac{1}{(x+y)^{2}+2}+\frac{1}{(x+y)^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+2}+\sqrt{(x+y)z}$

$P - Q = \frac{2xy}{(x^{2}+y^{2}+2)((x+y)^{2}+2)} -\frac{x^2}{(z^{2}+x^{2}+2)(z^{2}+2)} + R $ với $R$ là 1 biểu thức $R \ge 0 $
 

$P - Q \ge \frac{x^2}{z^2+x^2+2} . ( \frac{2}{(3-z)^2+2)}- \frac{1}{z^2+2}) = \frac{x^2}{z^2+x^2+2}. \frac{(z-1)(z+7)}{((x+y)^2+2)(z^2+2)} \ge 0 $





 

Nên $P \ge Q = \frac{1}{(3-z)^{2}+2}+\frac{1}{(3-z)^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+2}+\sqrt{(3-z)z}$


Đến đây xét hàm nhỉ

$f(z) = \frac{1}{(3-z)^{2}+2}+\frac{1}{(3-z)^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+2}+\sqrt{(3-z)z}$
$f'(z) = \frac{-2z}{(z^2+2)}+ -\frac{2(z-1)}{(z^2-2z+8)^2} +\frac{\frac{3}{2} - z}{\sqrt{z(3-z)}} + \frac{1}{2(z-4)^2} $
 
Sử dụng các kĩ thuật cho giải phương trình có thể giải ra nghiệm duy nhất $z = \frac{3}{2} $
 
Tuy nhiên nếu mà không thích và vì cực tiểu không đạt ở $z=\frac{3}{2} $ nên ta có thể chứng minh rằng :
 
$f'(1) . f'(2) < 0 $ nên $f'(z) $ có nghiệm $z_0$ nằm trong khoảng $[1;2] $
 
Mặt khác,$ f(1.2) > f(1) = f(2) $ Suy ra các đường biến biến thiên có dạng lồi, và cực tiểu đạt tại $f(1)$ hoặc$ f(2) $
 
Dấu $"="$ xảy ra chả hạn $ x= 0, y =1, z = 2 $





 

Attached Images

• 

Edited by quangtq1998, 13-03-2016 - 10:22.

[tap lam toan]

Nếu mà phương trình $ f'(z)=0 $ còn có nghiệm $ z_{1},z_{2},... $ thì sao hả bạn? khi đó đồ thị của nó sẽ biến thiên lung tung chứ không đơn giản như bảng biến thiên của bạn (dù thực tế nó đúng). Mình có cách này
vì $ z\in [1;2] $ nên $ z^2 + 2 \leq 3z $, sử dụng đánh giá này ta có 
$$ f(z)\geq \frac{1}{3z}+\frac{1}{9-3z}+\frac{1}{7}+\sqrt{3z-z^{2}} $$
và cái này thì khảo sát rất dế.